L'obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti gli strumenti matematici per studiare gli oggetti geometrici nello spazio. A questo scopo vengono introdotte anche le nozioni di Algebra Lineare necessarie per studiare la Geometria Analitica. Le principali conoscenze acquisite saranno relative a: - spazi e sottospazi vettoriali, vettori linearmente dipendenti e indipendenti, basi e dimensione di uno spazio vettoriale, - matrici, operazioni tra matrici, rango di una matrice, determinante di una matrice quadrata, - sistemi lineari e loro risoluzione, - rappresentazione analitica di rette e piani nello spazio e di altri oggetti geometrici, - autovettori, autovalori e diagonalizzabilità di matrici quadrate, - funzioni lineari, nucleo e immagine di una funzione lineare, teorema dimensionale, matrici associate a una funzione lineare, autovettori, autovalori e diagonalizzabilità di un operatore lineare. Le principali abilità acquisite saranno: - riconoscere e stabilire le proprietà di spazi vettoriali, - effettuare operazioni algebriche tra matrici, calcolare il rango di una matrice e il determinante di una matrice quadrata, - risolvere sistemi lineari, anche usando le matrici, - trovare autovalori e autovettori di una matrice quadrata e stabilire se è diagonalizzabile, - riconoscere le proprietà di rette, piani e oggetti geometrici nello spazio e risolvere problemi di geometria analitica nello spazio, - riconoscere funzioni lineari, calcolare il loro nucleo e immagine, trovare le matrici associate ad una funzione lineare, calcolare autovalori e autovettori di un operatore lineare e stabilire se è diagonalizzabile.
Prerequisiti
Algebra elementare. Elementi di geometria euclidea del piano e dello spazio. Elementi di geometria analitica del piano. Primi elementi di logica matematica: concetti di definizione, teorema, dimostrazione, ruolo di esempi e controesempi.
Metodi didattici
Lezioni frontali alla lavagna.
Verifica Apprendimento
L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento delle conoscenze, competenze e abilità indicate negli obiettivi del corso. L'esame è diviso in due parti, che hanno luogo in giorni diversi. La prima parte consiste in una prova scritta in cui si richiede agli studenti di risolvere esercizi sugli argomenti svolti durante il corso. La seconda parte consiste in una prova orale riguardante gli aspetti teorici degli argomenti svolti durante il corso, personalizzata anche in funzione dell'esito della prova precedente. La prova orale può prevedere eventualmente di rispondere in forma scritta a qualche domanda aperta. Il voto finale tiene conto di entrambe le prove. Qualora non venga raggiunto il punteggio minimo di 18 trentesimi, sarà necessario ripetere entrambe le prove.
Testi
Giuliano Mazzanti e Valter Roselli, “Appunti di Algebra Lineare, Geometria Analitica, Tensori: Teoria, Esempi,Esercizi svolti, Esercizi proposti”, Pitagora Editrice, Bologna 2013.
Giuliano Mazzanti e Valter Roselli, “Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Analitica”, Pitagora Editrice, Bologna 1997.
Contenuti
Matrici, operazioni tra matrici, rango di una matrice, determinante di una matrice quadrata, matrici invertibili, matrici a gradini, sistemi lineari e applicazioni (15 h). Spazi vettoriali, sottospazi vettoriali, vettori linearmente dipendenti e indipendenti, insiemi di generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale (10 h). Cenni di geometria analitica nello spazio: equazioni di rette e piani, parallelismo e ortogonalità tra rette e piani, distanze tra oggetti geometrici nello spazio (5 h). Spazi euclidei, basi ortogonali e ortonormali di spazi vettoriali, matrici ortogonali (10 h). Diagonalizzazione di matrici, autovalori e autovettori, molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Matrici simmetriche (10 h). Funzioni lineari. Nucleo e immagine di una funzione lineare. Teorema dimensionale. Matrici associate a funzioni lineari. Autovalori, autovettori e diagonalizzabilità di un operatore lineare (10 h).
