76921 - OTTIMIZZAZIONE NUMERICA E APPLICAZIONI ALL'ELABORAZIONE DEI DATI

insegnamento

ID:

76921

Tipo Insegnamento:

Opzionale

Durata (ore):

48

CFU:

SSD:

ANALISI NUMERICA

Url:

Dettaglio Insegnamento:

MATEMATICA/APPLICATIVO Anno: 2

Dettaglio Insegnamento:

MATEMATICA/GENERALE Anno: 2

Dettaglio Insegnamento:

MATEMATICA/Percorso Comune Anno: 1

Anno:

2025

Periodo di attività

Primo Semestre (17/09/2025 - 23/12/2025)

Obiettivi Formativi

Il corso affronta alcuni dei moderni metodi per l'ottimizzazione non lineare di funzioni regolari. Vengono fornite le basi teoriche per l'ottimizzazione non vincolata e per quella vincolata e vengono introdotti alcuni dei metodi più utilizzati in matematica applicata. I metodi vengono analizzati rispetto alla loro convergenza e velocità di convergenza. Viene effettuata anche attività di laboratorio. Le principali conoscenze fornite dal corso sono: - i principi di base dell'Ottimizzazione Numerica non vincolata e vincolata; - il significato e l'importanza delle direzioni di discesa, del sistema Karush-Kuhn-Tucker, della qualificazione dei vincoli, della velocità di convergenza; - i risultati teorici principali riguardo la ricerca di punti critici di funzioni reali di una o più variabili reali; - alcuni dei principali metodi numerici per la risoluzione di problemi di Programmazione Matematica vincolata e non vincolata per funzioni regolari; - risoluzione di alcuni problemi applicativi. Le principali competenze (che sono la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno: - abilità di analizzare il tipo di problema di ottimizzazione da risolvere e le sue principali proprietà; - capacità di descrivere matematicamente il problema; - capacità di individuare la classe di metodi di soluzione fra quelli proposti a lezione; - capacità di verificare le condizioni necessarie per l’applicazione dei metodi; - abilità di stimare le proprietà di convergenza dei metodi; - capacità di applicare i metodi studiati per risolvere semplici problemi di Programmazione Matematica, sia vincolata che non vincolata. Le conoscenze e le abilità acquisite possono essere utilizzate in tutti gli altri corsi di matematica applicata.

Prerequisiti

Algebra lineare, analisi matematica (successioni, limiti, derivate, integrali, studio di funzioni), calcolo differenziale pluridimensionale, conoscenza di base del linguaggio e dell'ambiente Matlab.

Metodi didattici

Lezioni frontali; sessioni di laboratorio con Matlab.

Verifica Apprendimento

La prova orale verte sui contenuti del corso e la loro applicazione a un problema di ottimizzazione. Si valuta la capacità dello studente di arrivare alla soluzione con il metodo più adeguato, discutendo convergenza ed efficienza fino alla parte di implementazione numerica.

Testi

- J. Nocedal, S. Wright, "Numerical Optimization", 2nd ed., 2006. - R. Fletcher, "Practical Methods of Optimization", 2nd ed., 2000. - J. E. Dennis, Jr. and R. B. Schnabel, "Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations", Classics in Applied Mathematics, SIAM, 1996 - D. P. Bertsekas, "Nonlinear Programming", Second Edition, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, 1999.

Contenuti

Il corso prevede 48 ore di lezione, delle quali circa 13 di laboratorio. La suddivisione oraria (indicata fra parentesi) può variare, anche sensibilmente, a seconda delle difficoltà incontrate dagli studenti nelle varie parti del programma. Introduzione all'ottimizzazione non vincolata (6 ore) Brevi richiami di calcolo differenziale multidimensionale. Programmazione matematica non vincolata: formulazione del problema, esempi. Formulazione delle condizioni necessarie e sufficienti del primo e del second'ordine, interpretazione geometrica. Metodi per la minimizzazione senza vincoli (10 ore) Metodi di discesa, di ricerca in linea, tecnica trust region, convergenza e velocità di convergenza dei metodi di discesa. Metodo di discesa più ripida, metodi quasi Newton (BFGS, DFP, SR1). Interpretazioni geometriche e risultati di convergenza dei metodi. Introduzione all'ottimizzazione vincolata (6 ore) Programmazione Matematica vincolata: formulazione del problema, esempi. Soluzioni globali e locali, classificazione. Condizioni di qualificazione dei vincoli. Formulazione delle condizioni necessarie e sufficienti del primo e del second'ordine, Teorema di Karush-Khun-Tucker (KKT) e interpretazione geometrica. Teoria della dualità. Metodi per la minimizzazione vincolata (7 ore) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Metodo dello spazio nullo per problemi NLP con solo vincoli di uguaglianza. Casi con vincoli di disuguaglianza. Cenno ai metodi di penalizzazione e alla programmazione quadratica sequenziale (SQP). Machine learning e metodologia SVM. Ottimizzazione stocastica (6 ore) Attività di laboratorio (13 ore) Realizzazione in ambiente Matlab dei principali metodi; risoluzione numerica di alcuni problemi applicativi.