ID:
000017
Tipo Insegnamento:
Obbligatorio
Durata (ore):
90
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Url:
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE/Percorso Comune Anno: 2
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (19/09/2024 - 17/12/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
copo del corso è di fornire gli strumenti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di
più variabili reali, sia scalari che a valori vettoriali. Ad esso si aggiunge lo studio delle equazioni
differenziali ordinarie.
La capacità principale che lo studente dovrà acquisire sarà quella di riconoscere la tipologia dei problemi
studiati; ad esempio nel caso di equazioni differenziali dovrà riconoscere la tipologia di equazione, nel
calcolo differenziale dovrà saper distinguere tra varietà parametrizzate o implicite o cambiamenti di coordinate,
nel calcolo integrale dovrà distinguere tra integrali multipli, curvilinei e di superfici, in modo da
saper determinare i metodi di risoluzione dei vari problemi che verranno proposti.
Le principali abilità che si dovranno raggiungere saranno quindi; capacità di saper modellizzare un problema
mediante la sua formulazione matematica e riuscire a risolvere il modello matematico descritto, sia mediante
soluzione analitica completa, che eventualmente mediante l'utilizzo di strumenti informatici.
più variabili reali, sia scalari che a valori vettoriali. Ad esso si aggiunge lo studio delle equazioni
differenziali ordinarie.
La capacità principale che lo studente dovrà acquisire sarà quella di riconoscere la tipologia dei problemi
studiati; ad esempio nel caso di equazioni differenziali dovrà riconoscere la tipologia di equazione, nel
calcolo differenziale dovrà saper distinguere tra varietà parametrizzate o implicite o cambiamenti di coordinate,
nel calcolo integrale dovrà distinguere tra integrali multipli, curvilinei e di superfici, in modo da
saper determinare i metodi di risoluzione dei vari problemi che verranno proposti.
Le principali abilità che si dovranno raggiungere saranno quindi; capacità di saper modellizzare un problema
mediante la sua formulazione matematica e riuscire a risolvere il modello matematico descritto, sia mediante
soluzione analitica completa, che eventualmente mediante l'utilizzo di strumenti informatici.
Prerequisiti
Corso di livello universitario di calcolo differenziale e integrale comprendente le nozioni di limite,
derivata e integrale per funzioni reali di variabile reale. Teoria elementare delle matrici.
Si ritengono quindi necessarie le conoscenze acquisite durante i corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria.
derivata e integrale per funzioni reali di variabile reale. Teoria elementare delle matrici.
Si ritengono quindi necessarie le conoscenze acquisite durante i corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria.
Metodi didattici
Il corso è organizzato mediante lezioni teoriche e pratiche. Le lezioni teoriche sono tenute in classe e sono volte
a presentare gli argomenti indicati nel programma cercando di tenere un livello di compromesso tra il rigore matematica
(quindi cercando di presentare, quanto meno parzialmente, le dimostrazioni dei fatti esposti) e un livello applicativo
(quindi più indirizzato verso la parte di risoluzione di problemi ed esercizi).
La parte pratica consiste nella presentazione e svolgimento di esercizi che possano spiegare meglio la parte teorica e d
are un'idea delle applicazioni.
Comunicazioni sul corso e materiale didattico verranno caricati sullla ClassRoom
https://classroom.google.com/c/Njk3NDY5OTY3MjIz?cjc=pyao52p
a presentare gli argomenti indicati nel programma cercando di tenere un livello di compromesso tra il rigore matematica
(quindi cercando di presentare, quanto meno parzialmente, le dimostrazioni dei fatti esposti) e un livello applicativo
(quindi più indirizzato verso la parte di risoluzione di problemi ed esercizi).
La parte pratica consiste nella presentazione e svolgimento di esercizi che possano spiegare meglio la parte teorica e d
are un'idea delle applicazioni.
Comunicazioni sul corso e materiale didattico verranno caricati sullla ClassRoom
https://classroom.google.com/c/Njk3NDY5OTY3MjIz?cjc=pyao52p
Verifica Apprendimento
L'esame di Analisi Matematica 2 è suddiviso in due prove, da svolgersi in due giorni differenti; una prima prova
scritta consiste nella risoluzioni di cinque esercizi ed è della durata di 3 ore, mentre la seconda prova
è di carattere teorico e consiste di due/tre domande.
La prima prova si intende superata se la valutazione conseguita è maggiore o uguale a 15/30 ed i possibili
argomenti degli esercizi sono uno tra le seguenti possibilità;
1. (6 punti) Equazioni differenziali; equazioni del primo ordine (variabili separabili, lineari, omogenee, di Bernoulli)
ed equazioni del secondo ordine (riconducibili ad equazioni del primo ordine, autonome, lineari a coefficienti costanti,
omogenee e complete).
2. (6 punti) Calcolo differenziale; determinazione di rette e piani tangenti e normali a curve e superfici,
sia definite mediante parametrizzazioni, sia in forma implicita.
3. (6 punti) Problemi di massimo e minimo; determinazioni di massimi e minimi locali e assoluti su insiemi compatti e non,
classificazione di punti stazionari liberi.
4. (6 punti) Teoria dell'integrazione; integrali doppi e tripli.
5. (6 punti) Applicazioni della teoria dell'integrazione ad integrali curvilinei, di superficie, con applicazioni al calcolo
di circuitazioni e flussi.
Una prova scritta con valutazione superiore o uguale ai 15/30 ha validità all'interno della stessa sessione; quindi, una prova
superata a dicembre, gennaio o febbraio resta valida fino ad inizio marzo (ma non fino a giugno), una prova superata a giugno,
luglio o settembre resta valida fino a fine settembre/inizio ottobre (ma non fino a dicembre).
Gli studenti che superano la prima prova possono accedere alla seconda prova, nella quale viene richiesta la risposta a due/tre
domande di tipo teorico; nello svolgimento di tali domande viene richiesta l'esposizione, quanto più esauriente degli argomenti.
É discrezione dello studente scegliere il grado di approfondimento di tale svolgimento, ivi compresa la presentazione di esempi e
controesempi adeguati e la dimostrazione degli eventuali Teoremi citati. In linea di principio, una prima domanda verterà'
sullo svolgimento della prova scritta, mentre le altre domande verteranno sul programma del corso.
La valutazione finale tiene conto del risultato della prima prova e del grado di adeguatezza della seconda prova. Non necessariamente
la valutazione finale è data dalla media delle valutazioni delle due prove.
In caso non venga superata la seconda prova, a seconda del livello di impreparazione, sarà discrezione del docente decidere
se lo studente dovrà ripetere o meno anche la prima prova. Durante le prove è severamente vietato l'uso di testi e strumenti
elettronici ivi compresi i telefonini.
scritta consiste nella risoluzioni di cinque esercizi ed è della durata di 3 ore, mentre la seconda prova
è di carattere teorico e consiste di due/tre domande.
La prima prova si intende superata se la valutazione conseguita è maggiore o uguale a 15/30 ed i possibili
argomenti degli esercizi sono uno tra le seguenti possibilità;
1. (6 punti) Equazioni differenziali; equazioni del primo ordine (variabili separabili, lineari, omogenee, di Bernoulli)
ed equazioni del secondo ordine (riconducibili ad equazioni del primo ordine, autonome, lineari a coefficienti costanti,
omogenee e complete).
2. (6 punti) Calcolo differenziale; determinazione di rette e piani tangenti e normali a curve e superfici,
sia definite mediante parametrizzazioni, sia in forma implicita.
3. (6 punti) Problemi di massimo e minimo; determinazioni di massimi e minimi locali e assoluti su insiemi compatti e non,
classificazione di punti stazionari liberi.
4. (6 punti) Teoria dell'integrazione; integrali doppi e tripli.
5. (6 punti) Applicazioni della teoria dell'integrazione ad integrali curvilinei, di superficie, con applicazioni al calcolo
di circuitazioni e flussi.
Una prova scritta con valutazione superiore o uguale ai 15/30 ha validità all'interno della stessa sessione; quindi, una prova
superata a dicembre, gennaio o febbraio resta valida fino ad inizio marzo (ma non fino a giugno), una prova superata a giugno,
luglio o settembre resta valida fino a fine settembre/inizio ottobre (ma non fino a dicembre).
Gli studenti che superano la prima prova possono accedere alla seconda prova, nella quale viene richiesta la risposta a due/tre
domande di tipo teorico; nello svolgimento di tali domande viene richiesta l'esposizione, quanto più esauriente degli argomenti.
É discrezione dello studente scegliere il grado di approfondimento di tale svolgimento, ivi compresa la presentazione di esempi e
controesempi adeguati e la dimostrazione degli eventuali Teoremi citati. In linea di principio, una prima domanda verterà'
sullo svolgimento della prova scritta, mentre le altre domande verteranno sul programma del corso.
La valutazione finale tiene conto del risultato della prima prova e del grado di adeguatezza della seconda prova. Non necessariamente
la valutazione finale è data dalla media delle valutazioni delle due prove.
In caso non venga superata la seconda prova, a seconda del livello di impreparazione, sarà discrezione del docente decidere
se lo studente dovrà ripetere o meno anche la prima prova. Durante le prove è severamente vietato l'uso di testi e strumenti
elettronici ivi compresi i telefonini.
Testi
Come testo di riferimento per il corso si consiglia:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa:
"Analisi Matematica 2",
Zanichelli, 2009.
Per gli approfondimenti ed esercizi si consigliano i seguenti testi:
S. Salsa, A. Squellati:
Esercizi di Matematica II,
Zanichelli, 2002.
B. Demidovic:
Esercizi e problemi di Analisi Matematica,
Editori Riuniti, 1999.
Oltre ai testi consigliati, vengono distribuite agli studenti delle dispense scritte dal docente. Nel dettaglio, sul sito del corso è reperibile il seguente materiale:
- Testo con soluzioni degli esami di Analisi Matematica 2 assegnati negli anni passati;
- Appunti per il Laboratorio MatLab;
- Eserciziario, consistente in una dispensa di esercizi con soluzioni riguardanti tutti gli argomenti toccati durante il corso;
- Appunti relativa ad una parte del corso che il docente ritiene non completamente coperta dal testo consigliato.
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa:
"Analisi Matematica 2",
Zanichelli, 2009.
Per gli approfondimenti ed esercizi si consigliano i seguenti testi:
S. Salsa, A. Squellati:
Esercizi di Matematica II,
Zanichelli, 2002.
B. Demidovic:
Esercizi e problemi di Analisi Matematica,
Editori Riuniti, 1999.
Oltre ai testi consigliati, vengono distribuite agli studenti delle dispense scritte dal docente. Nel dettaglio, sul sito del corso è reperibile il seguente materiale:
- Testo con soluzioni degli esami di Analisi Matematica 2 assegnati negli anni passati;
- Appunti per il Laboratorio MatLab;
- Eserciziario, consistente in una dispensa di esercizi con soluzioni riguardanti tutti gli argomenti toccati durante il corso;
- Appunti relativa ad una parte del corso che il docente ritiene non completamente coperta dal testo consigliato.
Contenuti
Preliminari: spazi normati e spazi Euclidei. Distanza e norma e definizione di limite e continuità per
funzioni tra spazi Euclidei. (2 ore)
Curve parametrizzate e curve regolari. Lunghezza di una curva e lunghezza di una curva regolare.
Decomposizione cinematica dell'accelerazione. (8 ore)
Elementi di topologia. Funzioni continue. Chiusi e aperti tramite funzioni continue. Continuità
delle funzioni, mediante restrizioni a curve continue e coordinate polari.
Insiemi connessi per archi, insiemi limitati e insiemi compatti. Esistenza degli zeri e Teorema di
Weierstrass. Insiemi di livello e determinazione di massimi e minimi. (6 ore)
Calcolo differenziale; derivate parziali, differenziale e Teorema differenziale totale. Piano tangente,
retta normale, derivate direzionali e formule di derivazione per funzioni composte. Massima e minima
crescita e relazione tra gradiente e insieme di livello di una funzione; Teorema della funzione
implicita (o del Dini). (12 ore)
Elementi di geometria delle superfici parametrizzate regolari; piano tangente, retta normale. Teorema della
funzione implicita nella formulazione generale. Superfici di rotazione; sfera, cono, cilindro,
toro ed ellissoide. (8 ore)
Massimi e minimi per funzioni di più variabili. Massimi e minimi su insiemi compatti; metodo della
parametrizzazione o sostituzione del vincolo e dei moltiplicatori di Lagrange. (10 ore)
Diffeomorfismi e teorema di invertibilità locale. Cambiamenti di coordinate; mappe lineari, coordinate polari,
coordinate cilindriche e coordinate sferiche. (6 ore)
Integrazione; integrali curvilinei e integrale multiplo. Definizione di insieme misurabile e condizioni necessarie
e sufficienti per la misurabilità. Insieme semplice e formula di riduzione per il
calcolo degli integrali multipli. Cambiamento di coordinate. Definizione di funzione assolutamente integrabile
in senso generalizzato. Calcolo di volumi per solidi regolari e per solidi di rotazione. (14 ore)
Calcolo dell'area di una superficie parametrizzata e formule per il calcolo dell'area delle superfici cartesiane
e di rotazione; Integrale di superficie. Applicazione nello studio
dei campi vettoriali. Teorema della divergenza e di Stokes e loro applicazioni per il
calcolo di circuitazioni e per il calcolo
dei flussi di campi attraverso superfici. (12 ore)
Equazioni differenziali; Problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità.
Equazioni del primo e del secondo ordine; vibrazioni meccaniche. (12 ore)
Codice ClassRoom
https://classroom.google.com/c/Njk3NDY5OTY3MjIz?cjc=pyao52p
funzioni tra spazi Euclidei. (2 ore)
Curve parametrizzate e curve regolari. Lunghezza di una curva e lunghezza di una curva regolare.
Decomposizione cinematica dell'accelerazione. (8 ore)
Elementi di topologia. Funzioni continue. Chiusi e aperti tramite funzioni continue. Continuità
delle funzioni, mediante restrizioni a curve continue e coordinate polari.
Insiemi connessi per archi, insiemi limitati e insiemi compatti. Esistenza degli zeri e Teorema di
Weierstrass. Insiemi di livello e determinazione di massimi e minimi. (6 ore)
Calcolo differenziale; derivate parziali, differenziale e Teorema differenziale totale. Piano tangente,
retta normale, derivate direzionali e formule di derivazione per funzioni composte. Massima e minima
crescita e relazione tra gradiente e insieme di livello di una funzione; Teorema della funzione
implicita (o del Dini). (12 ore)
Elementi di geometria delle superfici parametrizzate regolari; piano tangente, retta normale. Teorema della
funzione implicita nella formulazione generale. Superfici di rotazione; sfera, cono, cilindro,
toro ed ellissoide. (8 ore)
Massimi e minimi per funzioni di più variabili. Massimi e minimi su insiemi compatti; metodo della
parametrizzazione o sostituzione del vincolo e dei moltiplicatori di Lagrange. (10 ore)
Diffeomorfismi e teorema di invertibilità locale. Cambiamenti di coordinate; mappe lineari, coordinate polari,
coordinate cilindriche e coordinate sferiche. (6 ore)
Integrazione; integrali curvilinei e integrale multiplo. Definizione di insieme misurabile e condizioni necessarie
e sufficienti per la misurabilità. Insieme semplice e formula di riduzione per il
calcolo degli integrali multipli. Cambiamento di coordinate. Definizione di funzione assolutamente integrabile
in senso generalizzato. Calcolo di volumi per solidi regolari e per solidi di rotazione. (14 ore)
Calcolo dell'area di una superficie parametrizzata e formule per il calcolo dell'area delle superfici cartesiane
e di rotazione; Integrale di superficie. Applicazione nello studio
dei campi vettoriali. Teorema della divergenza e di Stokes e loro applicazioni per il
calcolo di circuitazioni e per il calcolo
dei flussi di campi attraverso superfici. (12 ore)
Equazioni differenziali; Problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità.
Equazioni del primo e del secondo ordine; vibrazioni meccaniche. (12 ore)
Codice ClassRoom
https://classroom.google.com/c/Njk3NDY5OTY3MjIz?cjc=pyao52p
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Codice ClassRoom
https://classroom.google.com/c/Njk3NDY5OTY3MjIz?cjc=pyao52p
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Corsi
Corsi
3 anni
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