Il corso fornisce agli studenti nozioni e metodi di: - Calcolo Tensoriale: algebra tensoriale, elementi di analisi tensoriale; - Introduzione alla Meccanica dei Continui: Cinematica, Leggi di Bilancio Generali, alcuni modelli costitutivi; - Introduzione alle Equazioni alle Derivate Parziali (EDP), con riferimento ai modelli della Meccanica Classica dei continui: equazione del trasporto, equazioni delle onde, del calore, di Laplace/Poisson. Al termine del Corso lo studente profittevole avrà acquisito: - padronanza del formalismo tensoriale per le applicazioni fisico-matematiche; - capacità di costruire modelli matematici, basati su EDP, per descrivere fenomeni legati alla Meccanica Classica; - capacità di riconoscere problemi ben posti nella teoria delle EDP e abilità nell'applicare le tecniche più comuni di soluzione classica.
Prerequisiti
- Algebra Lineare e Geometria (primo anno), - Calcolo differenziale ed integrale di funzioni di una e più variabili reali; equazioni differenziali ordinarie; - Meccanica del punto e dei sistemi materiali rigidi.
Metodi didattici
L'insegnamento si svolge in lezioni frontali in aula (saltuariamente con l'ausilio di proiezioni di materiale didattico), nelle quali la materia viene sviluppata in dettaglio e debitamente commentata. L'intervento e le domande degli studenti sono gradite e incoraggiate. La frequenza è fortemente raccomandata. Le dispense del Corso con il registro degli argomenti trattati ad ogni lezione sono pubblicate e aggiornate nel sito del corso: https://www.unife.it/scienze/matematica/insegnamenti/equazioni-della-fisica-matematica/materiale-didattico (Per accedere al materiale occorre effettuare il login con credenziali di ateneo).
Verifica Apprendimento
L'esame orale verifica la conoscenza degli argomenti spiegati a lezione per ciascuna delle tre parti del Corso. La risoluzione di un esercizio mostrerà la padronanza delle metodologie svolte nel Corso. Nel caso in cui l'esame debba essere ripetuto, deve intercorrere un minimo di 3 settimane fra le due prove. La data della prova orale può essere concordata individualmente col docente.
Testi
La maggior parte degli argomenti possono essere reperiti e approfonditi in: Parti I-II: S. Forte, L. Preziosi, M. Vianello, Meccanica dei Continui, Springer-Verlag Italia, 2019; Parte III: S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni. Springer Italia, 2004
Il corso consta di 64 ore di didattica sui seguenti argomenti:
I) Algebra e calcolo tensoriale (16 ore): richiami di Algebra Lineare (dualità, notazione indiciale, prodotti scalari, volumi); prodotto tensore; coordinate curvilinee in spazi euclidei, tensore metrico e sue applicazioni, derivazione di tensori: divergenza, rotore ed operatore di Laplace; teorema della divergenza.
II) Introduzione alla Meccanica dei Continui (20 ore): Cinematica (deformazione, derivate materiali, misure di deformazione, teorema del trasporto); Leggi di Bilancio generali e Teorema di Cauchy (argomento del tetraedro): bilancio di massa, impulso, momento angolare, energia; disuguaglianza di Clausius-Duhem; energia libera e disuguaglianza di dissipazione; leggi costitutive e principio di oggettività; modelli costitutivi del solido elastico isotropo (in particolare lineare) e del fluido newtoniano.
III) Introduzione alla Teoria classica delle EDP (28 ore): generalità sulle equazioni alle derivate parziali; equazioni semi-lineari del primo ordine e metodo delle caratteristiche; equazione delle onde (alcune tecniche di soluzione, separazione di variabili e principio di Duhamel, problemi ai valori al bordo e dati iniziali, metodo dell'energia, buona posizione); problema di Cauchy e superfici caratteristiche per equazioni generali, Teorema di Cauchy-Kowalevskaja (enunciato ed esempi); equazione del calore (soluzione fondamentale, buona posizione, principio del massimo); equazione di Laplace/Poisson (problema ai valori al bordo e interpretazione variazionale: Principio di Dirichlet; soluzione fondamentale, proprietà del valor medio e conseguenze.
