Il corso ha l’obiettivo di introdurre lo studente alle nozioni e alle tecniche di base della teoria dei gruppi. Il corso si propone inoltre di fornire allo studente gli strumenti per: Applicare il teorema di Sylow per indagare la struttura dei gruppi finiti a partire dal loro ordine. Capire il teorema di Jordan-Holder e la sua importanza nello studio delle serie di sottogruppi. Capire la struttura dei gruppi risolubili e nilpotenti. Saper operare per risolvere problemi relativi a gruppi risolubili e nilpotenti. Saper applicare il teorema di Schur-Zassenhaus per investigare proprietà strutturali di gruppi finiti.
Prerequisiti
Contenuto dei corsi di algebra 1 e 2 (primo anno).
Metodi didattici
Lezioni frontali. Verranno prodotti documenti pdf con il contenuto di ogni singola lezione, in formato di dispense. Si veda la Google Classroom del corso per il dettaglio relativo alle modalità di lezione.Una prova scritta ed un’eventuale prova orale su richiesta dello studente o a discrezione del docente. Per poter chiedere di fare la prova orale, lo studente deve aver ottenuto almeno 15 nella prova scritta.
La verifica consiste in una prova scritta e in una eventuale prova orale. Nella prova scritta è richiesto di risolvere dettagliatamente quattro esercizi di teoria dei gruppi, simili a quelli trattati durante le lezioni, e rispondere a un quesito teorico di teoria dei gruppi simile a quelli trattati durante le lezioni. Gli esercizi e il quesito valgono 6 punti ognuno e si passa lo scritto con un voto maggiore o uguale a 18.
La prova orale verte sulla risoluzione di esercizi simili a quelli proposti nella prova scritta, con possibili richiami alla teoria vista a lezione. Nel caso venga fatta la prova orale, il voto finale sarà la media aritmetica dei voti dello scritto e dell’orale.
Verifica Apprendimento
La verifica consiste in una prova scritta e in una eventuale prova orale, quest'ultima è su richiesta dello studente o a discrezione del docente. La prova orale è obbligatoria per chi ha preso da 15 a 17 allo scritto, facoltativa per chi ha preso almeno 18 allo scritto. Nella prova scritta è richiesto di risolvere dettagliatamente quattro esercizi sugli argomenti trattati durante le lezioni, e rispondere a un quesito teorico tra quelli trattati durante le lezioni. Gli esercizi e il quesito valgono 6 punti ognuno e si passa lo scritto con un voto maggiore o uguale a 18. La prova orale verte sulla risoluzione di esercizi simili a quelli proposti nella prova scritta, con possibili richiami alla teoria vista a lezione. Nel caso in cui venga svolta la prova orale, il voto finale sarà la media aritmetica dei voti dello scritto e dell’orale. Nel caso in cui non venga svolta la prova orale, il voto finale sarà uguale al voto dello scritto.
Testi
Un buon testo di riferimento è Robinson, “A course in the theory of groups”.
Contenuti
Azioni di gruppi, Teorema di Sylow e applicazioni, prodotti diretti e semidiretti (15 ore) Teorema di Jordan-Holder, fattori di composizione, fattori principali (12 ore) Gruppi risolubili, gruppi nilpotenti, sottogruppi di Frattini e Fitting (13 ore) Teorema di Schur-Zassenhaus e applicazioni, teorema di Hall (8 ore)
