000015 - ANALISI MATEMATICA I

Il corso prevede 90 ore di insegnamento, comprensive di esercitazioni (ca 30 ore).

I principali contenuti sono (*=senza dimostrazione, il numero alla fine di ogni sezione è il numero approssimativo di ore richiesto per la trattazione):
- Numeri naturali, interi, razionali, reali. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore e inferiore di un insieme.
- Successioni. Limite di una successione. Successioni divergenti, successioni indeterminate. Operazioni fondamentali con i limiti*. Teorema della permanenza del segno, di ordinamento*, del confronto*. Il numero e come limite di successione*. Successioni asintotiche. La formula di Stirling*.
- Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e la sua somma; serie armonica, serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Criteri di convergenza per serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta*, criterio di Leibniz*.
- Funzioni di una variabile reale. Definizione di funzione, dominio, immagine, grafico. Funzioni elementari. Operazioni sui grafici. Funzioni composte, funzioni invertibili, funzioni inverse e loro grafici.
- Limiti di funzioni e continuità. Limite di funzioni; unicità del limite*. Operazioni con i limiti di funzioni, teoremi della permanenza del segno*, di confronto*. Cambiamento di variabili nei limiti*. Limiti notevoli. Funzioni continue. Asintoti. Classi di funzioni continue. Teorema degli zeri delle funzioni continue*. Teorema di Weierstrass*. Teorema dei valori intermedi*. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
- Calcolo differenziale. Derivata di una funzione in un punto. Derivate di funzioni elementari. Punti di non derivabilità. Punti di massimo, minimo. Teorema di Fermat, teorema del valor medio (Lagrange)*, caratterizzazione della monotonìa. Punti stazionari, di flesso. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla in un intervallo. Ricerca dei massimi, minimi di una funzione. La derivata seconda. Convessità e concavità per corde e tangenti*. Studio degli estremi di una funzione tramite la derivata seconda*. Studio del grafico di una funzione. I teoremi di de l'Hospital. Polinomi di Taylor e MacLaurin*.
-Calcolo integrale. Definizione di integrale di Riemann per funzioni continue. Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale e suo significato geometrico. Primitiva di una funzione; caratterizzazione delle primitive in un intervallo. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive delle funzioni elementari. Integrazione per linearità, per sostituzione, per parti. Tecniche di integrazione. La funzione integrale; il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale*. Integrale di funzioni discontinue. Integrazione generalizzata di funzioni continue non limitate o definite in intervalli illimitati. Criteri di convergenza per integrali generalizzati*.