ID:
55834
Tipo Insegnamento:
Opzionale
Durata (ore):
48
CFU:
6
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Url:
MATEMATICA/Percorso Comune Anno: 2
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (23/02/2026 - 05/06/2026)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso serve a fornire una introduzione al Calcolo delle Variazioni; si vuole introdurre i metodi diretti del calcolo delle variazioni e si intende arrivare ad applicare tali metodi per la determinazione delle soluzioni di alcuni classici problemi variazionali. Il contenuto preciso del corso verra’ concordato con gli studenti; dopo aver studiato i teoremi classici di esistenza delle soluzioni di determinate equazioni differenziali, si può’ passare allo studio della regolarità’ di tali soluzioni. La classe di problemi ed equazioni che si possono studiare sono ad esempio il problema classico dell’elettrostatica, problemi variazionali in una dimensione quali il problema della brachistocrona, della catenaria e del profilo ottimale, ma anche problemi quali il problema isoperimetrico e delle superfici minime.
Il primo obiettivo sarà comprendere il legame tra equazioni differenziali di tipo ellittico (come ad esempio l'equazione di Laplace e l'equazione delle superfici minime) e problemi di ottimizzazione convessa.
In seguito, affronteremo il problema di come mostrare l'esistenza di una soluzione, tramite una opportuna generalizzazione infinito-dimensionale del classico Teorema di Weierstrass.
Al termine del corso, lo studente dovrà aver acquisito l'abilità di riconoscere problemi che possono essere trattati in modo variazionale: in particolare, dovrà essere in grado di capire se le soluzioni di tali problemi esistono e quale regolarità bisogna aspettarsi dalle loro soluzioni.
Il primo obiettivo sarà comprendere il legame tra equazioni differenziali di tipo ellittico (come ad esempio l'equazione di Laplace e l'equazione delle superfici minime) e problemi di ottimizzazione convessa.
In seguito, affronteremo il problema di come mostrare l'esistenza di una soluzione, tramite una opportuna generalizzazione infinito-dimensionale del classico Teorema di Weierstrass.
Al termine del corso, lo studente dovrà aver acquisito l'abilità di riconoscere problemi che possono essere trattati in modo variazionale: in particolare, dovrà essere in grado di capire se le soluzioni di tali problemi esistono e quale regolarità bisogna aspettarsi dalle loro soluzioni.
Prerequisiti
Tutti i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e II. Misura e Integrale di Lebesgue. Teoria degli spazi L^p.
Metodi didattici
Il corso si svolge mediante lezioni frontali in classe principalmente su base teorica durante le quali si svilupperanno i principali strumenti; durante le lezioni si cerchera' di presentare anche la parte più pratica presentando alcune applicazioni degli aspetti teorici. Si puo' prevedere, solo per studenti lavoratori o provvisti di motivate richieste anche lo streaming con registrazione delle lezioni. Verra' inoltre caricato eventuale materiale didattico su ClassRoom, codice oxaozhn
https://classroom.google.com/c/NjMzMzE0ODI0ODg2?cjc=oxaozhn
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Verifica Apprendimento
La verifica delle conoscenze acquisite è basata su un esame orale, in cui verranno effettuate 2 o 3 domande, su altrettanti argomenti esposti durante il corso. La prova ha la durata di un'ora circa.
Testi
Il corso sarà basato
su alcuni libri classici di Calcolo delle Variazione. Si partira' dal materiale contenuto nei testi:
H. Brezis,
"Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations",
Universitext, Springer
E. H Lieb, M. Loss, "Analysis", Graduate Texts in Mathematics, AMS (Capitolo 2)
Per approfondimenti sugli argomenti del corso, consigliamo i seguenti testi:
B. Dacorogna, "Introduction to the Calculus of Variations"
E. Giusti, "Direct methods in the Calculus of Variations",
World Scientific Pub Co Inc
su alcuni libri classici di Calcolo delle Variazione. Si partira' dal materiale contenuto nei testi:
H. Brezis,
"Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations",
Universitext, Springer
E. H Lieb, M. Loss, "Analysis", Graduate Texts in Mathematics, AMS (Capitolo 2)
Per approfondimenti sugli argomenti del corso, consigliamo i seguenti testi:
B. Dacorogna, "Introduction to the Calculus of Variations"
E. Giusti, "Direct methods in the Calculus of Variations",
World Scientific Pub Co Inc
Contenuti
Il corso e' inteso come introduzione ai metodi diretti del Calcolo delle Variazioni, con particolare attenzione alla determinazione dei minimi di funzionali definiti su spazi di funzioni derivabili in senso debole e delle loro proprietà di regolarità. Di seguito viene riportato il contenuto del corso degli anni precedenti, contenuto che potrebbe variare a seconda degli interessi degli studenti.
STRUMENTI (8 ore)
- funzioni convesse di una variabile
- funzioni convesse di più variabili
- disuguaglianza di Picone
- disuguaglianza di Young
- disuguaglianza di Jensen
- il lemma di Du Bois-Reymond
- il principio di Dirichlet
- variazione prima di un funzionale integrale
- equazione di Eulero-Lagrange in forma debole
ALCUNI PROBLEMI VARIAZIONALI UNO-DIMENSIONALI (12 ore)
- curve di lunghezza minima
- curve di energia cinetica minima
- il problema della brachistocrona
- disuguaglianze di Poincaré su un intervallo
- determinazione delle costanti ottime: funzioni nulle al bordo, funzioni a media nulla, funzioni periodiche a media nulla
- problemi isoperimetrici nel piano
- la disuguaglianza isoperimetrica di Hurwitz
SPAZI DI SOBOLEV (20 ore)
- motivazioni: il Metodo Diretto
- derivata debole in L^p
- definizione di spazio di Sobolev
- approssimazione di funzioni Sobolev tramite convoluzioni
- operazioni sulle funzioni Sobolev
- disuguaglianza di Poincaré
- disuguaglianza di Sobolev
- disuguaglianza di Ladyzhenskaya
- disuguaglianza di Morrey
- lo spazio W^{1,p}_0
- teoremi di immersione per W^{1,p}_0
- teoremi di immersione per W^{1,p}
- controesempio al teorema di immersione per domini non regolari
METODO DIRETTO NEGLI SPAZI DI SOBOLEV (8 ore)
- un esempio modello: l'equazione di Poisson
- un risultato di esistenza tra le funzioni Sobolev
- il primo autovalore del Laplaciano-Dirichlet
- lo spettro del Laplaciano-Dirichlet
- cenni di Teoria della Regolarità: le autofunzioni sono limitate
STRUMENTI (8 ore)
- funzioni convesse di una variabile
- funzioni convesse di più variabili
- disuguaglianza di Picone
- disuguaglianza di Young
- disuguaglianza di Jensen
- il lemma di Du Bois-Reymond
- il principio di Dirichlet
- variazione prima di un funzionale integrale
- equazione di Eulero-Lagrange in forma debole
ALCUNI PROBLEMI VARIAZIONALI UNO-DIMENSIONALI (12 ore)
- curve di lunghezza minima
- curve di energia cinetica minima
- il problema della brachistocrona
- disuguaglianze di Poincaré su un intervallo
- determinazione delle costanti ottime: funzioni nulle al bordo, funzioni a media nulla, funzioni periodiche a media nulla
- problemi isoperimetrici nel piano
- la disuguaglianza isoperimetrica di Hurwitz
SPAZI DI SOBOLEV (20 ore)
- motivazioni: il Metodo Diretto
- derivata debole in L^p
- definizione di spazio di Sobolev
- approssimazione di funzioni Sobolev tramite convoluzioni
- operazioni sulle funzioni Sobolev
- disuguaglianza di Poincaré
- disuguaglianza di Sobolev
- disuguaglianza di Ladyzhenskaya
- disuguaglianza di Morrey
- lo spazio W^{1,p}_0
- teoremi di immersione per W^{1,p}_0
- teoremi di immersione per W^{1,p}
- controesempio al teorema di immersione per domini non regolari
METODO DIRETTO NEGLI SPAZI DI SOBOLEV (8 ore)
- un esempio modello: l'equazione di Poisson
- un risultato di esistenza tra le funzioni Sobolev
- il primo autovalore del Laplaciano-Dirichlet
- lo spettro del Laplaciano-Dirichlet
- cenni di Teoria della Regolarità: le autofunzioni sono limitate
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Codice ClassRoom
oxaozhn
oxaozhn
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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