Il corso è una introduzione ai concetti basilari di Algebra commutativa e di Geometria algebrica, con particolari enfasi sui loro aspetti computazionali.
Prerequisiti
Algebra e Geometria I (primo anno della laurea triennale in Matematica).
Metodi didattici
Lezioni frontali alla lavagna. Lezioni in streaming e registrate per gli studenti lavoratori.
Verifica Apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta e una orale. La prova scritta è formata da 5 esercizi sugli argomenti svolti durante il corso. Ogni esercizio viene valutato con un punteggio da 0 a 7, a seconda della chiarezza e precisione della soluzione, e il voto dello scritto è la somma dei cinque punteggi ottenuti. Il voto della prova scritta è quello di ammissione alla prova orale, che consiste nella revisione dello scritto e in ulteriori due domande sugli argomenti svolti durante il corso.
Testi
David A. Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutativa Algebra, Fourth Edition. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer.
Contenuti
Varietà affini. Polinomi. Ideali in anelli polinomiali. Ordini monomiali. Algoritmo della divisione di polinomi in più variabili. Ideali monomiali. Lemma di Dickson. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner. Algoritmo di Buchberger. Teoria dell’eliminazione: teoremi di estensione e di eliminazione. Implicitizzazione. Punti singolari. Risultanti. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz). Ideali radicali. Corrispondenza tra ideali e varietà. Operazioni su ideali. Chiusura di Zariski. Varietà irriducibili. Il piano e lo spazio proiettivo. Varietà proiettive. Dizionario di Algebra e Geometria proiettiva. La chiusura proiettiva di una varietà affine. Teoria dell’eliminazione proiettiva. Ipersuperfici quadriche. Teorema di Bezout. Varietà di un ideale monomiale. Funzione di Hilbert e dimensione di una varietà. Proprietà della dimensione. Non-singolarità. Cono tangente. Funzioni polinomiali. Quozienti di anelli polinomiali. Anello di coordinate di una varietà affine. Funzioni razionali su una varietà. Finitezza relativa e normalizzazione di Noether.
