ID:
55835
Tipo Insegnamento:
Opzionale
Durata (ore):
48
CFU:
6
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Url:
MATEMATICA/Percorso Comune Anno: 2
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (24/02/2025 - 06/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Obiettivo del corso è l'apprendimento delle nozioni di teoria della misura astratta da applicare allo studio di problemi di
trasporto ottimo.
trasporto ottimo.
Prerequisiti
I prerequisiti di questo corso sono le nozioni di Analisi Funzionale.
Metodi didattici
Il corso è teorico e si basa su lezioni video-registrate; durante le lezioni si cercherà di esporre
esempi e applicazioni delle nozioni acquisite.
Comunicazioni sul corso e materiale didattico verranno caricati sulla ClassRoom
https://classroom.google.com/c/NjgxMTQ1Nzc3NzI5?cjc=tuoqzhe
esempi e applicazioni delle nozioni acquisite.
Comunicazioni sul corso e materiale didattico verranno caricati sulla ClassRoom
https://classroom.google.com/c/NjgxMTQ1Nzc3NzI5?cjc=tuoqzhe
Verifica Apprendimento
L'esame consiste in un colloquio orale della durata approssimativa di 45 minuti; durante tale colloquio
verranno poste al candidato due domande, una sulla prima parte del corso ed una sulla seconda parte.
verranno poste al candidato due domande, una sulla prima parte del corso ed una sulla seconda parte.
Testi
I testi di riferimento per la prima parte del corso sono
"Measure Theory", Donald Cohn,
Birkhäuser, Boston, Mass., 1980.
"Real analysis and probability", Richard Dudley,
The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove,1989.
mentre per la seconda parte del corso il testo di riferimento e'
"Topics in optimal transportation", Cedric Villani,
Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
Se possibile, verranno rese disponibili anche degli
appunti parziali del corso, reperibili sul sito web del corso.
"Measure Theory", Donald Cohn,
Birkhäuser, Boston, Mass., 1980.
"Real analysis and probability", Richard Dudley,
The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove,1989.
mentre per la seconda parte del corso il testo di riferimento e'
"Topics in optimal transportation", Cedric Villani,
Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
Se possibile, verranno rese disponibili anche degli
appunti parziali del corso, reperibili sul sito web del corso.
Contenuti
PRIMA PARTE
Teoria della misura astratta (5 ore)
- richiami sull’integrazione alla Riemann e suoi limiti
- algebre e sigma-algebre; misure ed esempi
- misure esterne; insiemi misurabili e criterio di Caratheodory
- Misure metriche; esempi e misure di Hausdorff.
- Insieme di Cantor.
Teoria dell’integrazione (5 ore)
- funzioni misurabili; definizioni equivalenti
- funzioni misurabili; proprietà e approssimazione con funzioni semplici
- confronto tra insiemi Boreliani e insiemi misurabili secondo Lebesgue
- integrale delle funzioni misurabili
- Chebychev e conseguenze.
- teoremi di convergenza; monotona, Beppo Levi, Fatou e Lebesgue
- confronto tra integrale di Riemann e Lebesgue;
- integrale di Riemann Stietjies
Misure prodotto e Fubini-Tonelli (5 ore)
- famiglie di Dynkin e pi-sistemi
- introduzione alla misura prodotto.
- Teorema di Fubini e disintegrazione di misure.
- convergenze; in misura, quasi ovunque, quasi uniforme, in media. Confronti tra le varie convergenze;
- Teoremi di Borell-Cantelli e Egorov. Teorema di Lusin;
Misure come duale; derivazione di misure (6 ore)
- misure vettoriali e con segno; misura variazione totale e finitezza delle misure vettoriali
- struttura di spazio di Banach e dualità’ con le funzioni continue, Teorema di Riesz;
- convergenza debole di misure
- decomposizione di Jordan e di Hahn.
- Teorema di Radon-Nikodym e di Besicovitch.
- Teorema di Besicovitch-Vitali e Teorema di derivazione di Besicovitch.
- generelizzazioni del Teorema di derivazione di Besicovitch.
- punti di Lebesgue per funzioni sommabili
SECONDA PARTE
Funzioni continue (5 ore)
- modulo di continuità di una funzione continua
- famiglie di funzioni continue
- proprietà delle funzioni Lipschitziane e delle funzioni convesse su un aperto di $R^N$
Analisi convessa (5 ore)
- funzioni convesse su spazi vettoriali normati
- trasformata di Fenchel-Legendre
- sottogradienti e calcolo sottodifferenziale
- disuguaglianza di Fenchel-Young
- teorema di Fenchel-Moreau
Problemi di Monge-Kantorovich (9 ore)
- introduzione al problema: il classico problema di Monge
- mappe di trasporto
- esempi e controesempi
- piani di trasporto
- la riformulazione di Kantorovich
- esistenza di una soluzione per il problema di Kantorovich
- funzioni c-concave e c-trasformata
- problema duale
- esistenza per il problema duale
- potenziali di Kantorovich
- teorema di dualità
- condizioni di ottimalità primali-duali
- teorema di Ambrosio-Sudakov
- teorema di Brenier-McCann
Alcune applicazioni (2 ore)
- la disuguaglianza isoperimetrica tramite la dimostrazione di Knothe-Gromov
Codice ClassRoomç
https://classroom.google.com/c/NjgxMTQ1Nzc3NzI5?cjc=tuoqzhe
Teoria della misura astratta (5 ore)
- richiami sull’integrazione alla Riemann e suoi limiti
- algebre e sigma-algebre; misure ed esempi
- misure esterne; insiemi misurabili e criterio di Caratheodory
- Misure metriche; esempi e misure di Hausdorff.
- Insieme di Cantor.
Teoria dell’integrazione (5 ore)
- funzioni misurabili; definizioni equivalenti
- funzioni misurabili; proprietà e approssimazione con funzioni semplici
- confronto tra insiemi Boreliani e insiemi misurabili secondo Lebesgue
- integrale delle funzioni misurabili
- Chebychev e conseguenze.
- teoremi di convergenza; monotona, Beppo Levi, Fatou e Lebesgue
- confronto tra integrale di Riemann e Lebesgue;
- integrale di Riemann Stietjies
Misure prodotto e Fubini-Tonelli (5 ore)
- famiglie di Dynkin e pi-sistemi
- introduzione alla misura prodotto.
- Teorema di Fubini e disintegrazione di misure.
- convergenze; in misura, quasi ovunque, quasi uniforme, in media. Confronti tra le varie convergenze;
- Teoremi di Borell-Cantelli e Egorov. Teorema di Lusin;
Misure come duale; derivazione di misure (6 ore)
- misure vettoriali e con segno; misura variazione totale e finitezza delle misure vettoriali
- struttura di spazio di Banach e dualità’ con le funzioni continue, Teorema di Riesz;
- convergenza debole di misure
- decomposizione di Jordan e di Hahn.
- Teorema di Radon-Nikodym e di Besicovitch.
- Teorema di Besicovitch-Vitali e Teorema di derivazione di Besicovitch.
- generelizzazioni del Teorema di derivazione di Besicovitch.
- punti di Lebesgue per funzioni sommabili
SECONDA PARTE
Funzioni continue (5 ore)
- modulo di continuità di una funzione continua
- famiglie di funzioni continue
- proprietà delle funzioni Lipschitziane e delle funzioni convesse su un aperto di $R^N$
Analisi convessa (5 ore)
- funzioni convesse su spazi vettoriali normati
- trasformata di Fenchel-Legendre
- sottogradienti e calcolo sottodifferenziale
- disuguaglianza di Fenchel-Young
- teorema di Fenchel-Moreau
Problemi di Monge-Kantorovich (9 ore)
- introduzione al problema: il classico problema di Monge
- mappe di trasporto
- esempi e controesempi
- piani di trasporto
- la riformulazione di Kantorovich
- esistenza di una soluzione per il problema di Kantorovich
- funzioni c-concave e c-trasformata
- problema duale
- esistenza per il problema duale
- potenziali di Kantorovich
- teorema di dualità
- condizioni di ottimalità primali-duali
- teorema di Ambrosio-Sudakov
- teorema di Brenier-McCann
Alcune applicazioni (2 ore)
- la disuguaglianza isoperimetrica tramite la dimostrazione di Knothe-Gromov
Codice ClassRoomç
https://classroom.google.com/c/NjgxMTQ1Nzc3NzI5?cjc=tuoqzhe
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Altre informazioni
Codice ClassRoom
https://classroom.google.com/c/NjgxMTQ1Nzc3NzI5?cjc=tuoqzhe
https://classroom.google.com/c/NjgxMTQ1Nzc3NzI5?cjc=tuoqzhe
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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