102124 - ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE

Obiettivo del corso è fornire agli studenti gli strumenti dell'Analisi Funzionale per essere in grado di formulare problemi (come quelli di esistenza di minimo) in opportuni spazi funzionali e di usare convergenze rispetto opportune topologie per la loro risoluzione.
A tal scopo nel corso si presentano le nozioni di base, i teoremi e le tecniche principali della teoria degli operatori lineari e continui, degli spazi di Banach (con lo studio delle proprietà che caratterizzano gli spazi riflessivi) e degli spazi di Hilbert con applicazione allo studio delle proprietà
degli spazi L^p e delle loro topologie deboli.In particolare al termine del corso lo studente conoscerà le versioni analitiche e geometriche del Teorema di Hahn-Banach, il Lemma di Baire, il Teorema di Banach-Steinhaus, i teoremi della Mappa aperta e del grafico chiuso, i teoremi di
Banach-Alouglu-Bourbaki, di Kakutani, il teorema di rappresentazione di Riesz.

Al termine del corso lo studente sarà in grado di:
- comprendere le differenze tra le proprietà di uno spazio di dimensione finita e le proprietà di uno di dimensione infinita (a livello di completezza, compattezza, continuità delle applicazioni lineari, esistenza di una base...);
- applicare le nozioni topologiche di continuità, convergenza, compattezza, separabilità in spazi topologici metrici e non;
- studiare la continuità e calcolare la norma di un operatore lineare e continuo su un spazio infinito dimensionale;
- stabilire l'uniforme limitatezza di un sottoinsieme di uno spazio di Banach;
- discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole di un sottoinsieme convesso di uno spazio riflessivo;
- discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole* di un sottoinsieme limitato di uno spazio riflessivo;
- discutere l'esistenza del limite debole (o debole*) di una successione;
- usare la topologia debole (e debole*) negli spazi L^p (in L^\infty).