Primo semestre (primi anni) (22/09/2025 - 17/12/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso ha l’obiettivo di introdurre lo studente alle nozioni e alle tecniche di base dell’algebra lineare e della geometria Affine ed Euclidea. Il corso si propone inoltre di fornire allo studente gli strumenti per: - Risolvere sistemi di equazioni lineari tramite riduzione di matrici a scala; - Operare con matrici, calcolare determinanti, determinare l’inversa di una matrice invertibile, il rango di una matrice, usare le matrici per risolvere problemi geometrici. - Capire la nozione generale di spazio vettoriale, insiemi di generatori e basi. Operare con vettori dello spazio euclideo standard R^n e altri spazi vettoriali. - Operare con le applicazioni lineari, conoscere gli esempi fondamentali (proiezioni, rotazioni, riflessioni), determinare nucleo e immagine e le loro dimensioni, saper calcolare le proiezioni ortogonali; - Diagonalizzare operatori e matrici, calcolare autovalori e autovettori, autospazi, molteplicità algebriche e geometriche; - Studiare spazi lineari nello spazio affine e Euclideo - Saper determinare basi ortonormali in spazi Euclidei, conoscere il teorema spettrale, saper riconoscere coniche e quadriche.
Prerequisiti
Aritmetica e logica elementari.
Metodi didattici
Lezioni frontali alla lavagna. Verranno forniti documenti pdf con il contenuto di ogni singola lezione, in formato di dispense, che saranno pubblicate nella Google Classroom del corso.
Verifica Apprendimento
La verifica consiste in una prova scritta e in una eventuale prova orale. Nella prova scritta è richiesto di risolvere dettagliatamente quattro esercizi di algebra lineare e geometria analitica, simili a quelli trattati durante le lezioni. La prova orale, che viene fatta su richiesta dello studente oppure a discrezione del docente, verte sulla risoluzione di esercizi simili a quelli proposti nella prova scritta, con possibili richiami alla teoria vista a lezione. In sostituzione della prova scritta si potranno sostenere due prove parziali: la prima si tiene a metà del corso ed è formata da 8 quesiti a risposta multipla, in cui l’unica risposta corretta vale 4 punti, una risposta non data vale 0 punti mentre viene tolto 1 punto per ogni risposta sbagliata. Per essere ammessi alla seconda prova parziale sarà necessario totalizzare almeno 17 punti. La seconda prova parziale è formata da 3 esercizi di algebra lineare e geometria analitica, simili a quelli trattati durante le lezioni.
Testi
Verranno fornite le dispense delle lezioni tenute.
Un buon testo di riferimento è il libro di Marco Abate e Chiara De Fabritiis, dal titolo "Geometria analitica con elementi di algebra lineare", casa editrice McGraw-Hill Education.
Contenuti
Il corso si sviluppa in 90 ore di didattica. I principali argomenti trattati nel corso sono i seguenti: Risoluzione di sistemi lineari, riduzione a scalini (5 ore) Operazioni tra matrici, determinanti, inversa di matrice (15 ore) Spazi vettoriali, vettori, dipendenza lineare, basi, rango di una matrice (15 ore) Trasformazioni lineari, nucleo e immagine, isomorfismi, cambiamenti di base (20 ore) Geometria Affine ed Euclidea dello spazio, prodotto scalare, distanza, basi ortogonali, ortogonalizzazione (15 ore) Diagonalizzazione, autovalori e autovettori (10 ore) Matrici simmetriche e forme quadratiche, teorema spettrale (10 ore)
