ID:
000012
Tipo Insegnamento:
Obbligatorio
Opzionale
Durata (ore):
64
CFU:
8
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Url:
MATEMATICA/APPLICATIVO Anno: 1
MATEMATICA/DIDATTICO Anno: 1
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (17/09/2025 - 23/12/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Obiettivo del corso è fornire agli studenti gli strumenti dell'Analisi Funzionale per essere in grado di formulare problemi (come quelli di esistenza di minimo) in opportuni spazi funzionali e di usare convergenze rispetto a opportune topologie per la loro risoluzione. A tal scopo nel corso si presentano le nozioni di base, i teoremi e le tecniche principali della teoria degli operatori lineari e continui, degli spazi di Banach (con lo studio delle proprietà che caratterizzano gli spazi riflessivi) e degli spazi di Hilbert con applicazione allo studio delle proprietà degli spazi L^p e delle loro topologie deboli. In particolare al termine del corso lo studente conoscerà le versioni analitiche e geometriche del Teorema di Hahn-Banach, il Lemma di Baire, il Teorema di Banach-Steinhaus, i teoremi della Mappa aperta e del grafico chiuso, i teoremi di Banach-Alouglu-Bourbaki, di Kakutani, il teorema di rappresentazione di Riesz. Al termine del corso lo studente sarà in grado di: - comprendere le differenze tra le proprietà di uno spazio di dimensione finita e le proprietà di uno di dimensione infinita (a livello di completezza, compattezza, continuità delle applicazioni lineari, esistenza di una base...) - applicare le nozioni topologiche di continuità, convergenza, compattezza, separabilità in spazi topologici metrici e non; - studiare la continuità e stimare la norma di un operatore lineare e continuo su un spazio infinito dimensionale; - stabilire l'uniforme limitatezza di un sottoinsieme di uno spazio di Banach; - discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole di un sottoinsieme convesso di uno spazio riflessivo; - discutere le proprietà di compattezza (sequenziale e topologica) rispetto la topologia debole* di un sottoinsieme limitato di uno spazio riflessivo; - discutere l'esistenza del limite debole (o debole*) di una successione; - usare la topologia debole (e debole*) negli spazi L^p (in L^\infty).
Prerequisiti
I prerequisiti richiesti sono i contenuti dei corsi di Analisi 1,2,3 del corso di laurea triennale, in particolare buona conoscenza delle basi di teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue, e buona conoscenza di elementi di topologia generale.
Metodi didattici
Il corso verrà svolto attraverso lezioni ed esercitazioni. La presentazione dei teoremi principali è accompagnata dalla loro dimostrazione, dalla discussione di esempi, applicazioni e dallo svolgimento di esercizi che ne richiedono l'utilizzo. Vengono proposti esercizi da svolgere autonomamente e la cui risoluzione potrà in caso essere discussa successivamente. Gli esercizi proposti sono sulla falsa riga degli esercizi che verranno proposti in sede d'esame e quindi il loro svolgimento è fortemente consigliato.
Le comunicazioni relative al corso ed eventuale materiale didattico verrà caricato sulla ClassRoom.
Le comunicazioni relative al corso ed eventuale materiale didattico verrà caricato sulla ClassRoom.
Verifica Apprendimento
La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene mediante un esame finale suddiviso in due parti, una prova scritta seguito da un colloquio orale. Nel dettaglio:
- Nella prova scritta viene richiesta la risoluzione di quattro esercizi, tre sugli argomenti comuni al corso di Elementi di Analisi Funzionale descritti
dai punti 01-24 della voce "Contenuti del Corso", uno invece sugli ultimi argomenti descritti nei punti 25-32. Tale prova si ritiene superata se si raggiunge il voto di 15/30.
- Nel colloquio orale si discuterà quanto svolto nella prova scritta e si richiederà l'esposizione di alcuni dei principali argomenti svolti nel programma.
La valutazione finale tiene conto dell'esito dell’esame e anche dell'impegno profuso durante il corso con la sottomissione nella ClassRoom entro i termini stabiliti dello svolgimento degli esercizi proposti. La correzione e la valutazione della correttezza di tali esercizi verrà comunicata in sede di esame orale. La valutazione finale non sarà necessariamente la media aritmetica delle varie valutazioni, bensì una valutazione complessiva del livello di preparazione dello studente.
Le prove scritte vengono segnalate sul sito studiare.unife.it; vengono proposte anche delle date per le prove orali, ma i docenti sono disponibili a fissare ulteriori date da concordare a seconda delle disponibilità.
- Nella prova scritta viene richiesta la risoluzione di quattro esercizi, tre sugli argomenti comuni al corso di Elementi di Analisi Funzionale descritti
dai punti 01-24 della voce "Contenuti del Corso", uno invece sugli ultimi argomenti descritti nei punti 25-32. Tale prova si ritiene superata se si raggiunge il voto di 15/30.
- Nel colloquio orale si discuterà quanto svolto nella prova scritta e si richiederà l'esposizione di alcuni dei principali argomenti svolti nel programma.
La valutazione finale tiene conto dell'esito dell’esame e anche dell'impegno profuso durante il corso con la sottomissione nella ClassRoom entro i termini stabiliti dello svolgimento degli esercizi proposti. La correzione e la valutazione della correttezza di tali esercizi verrà comunicata in sede di esame orale. La valutazione finale non sarà necessariamente la media aritmetica delle varie valutazioni, bensì una valutazione complessiva del livello di preparazione dello studente.
Le prove scritte vengono segnalate sul sito studiare.unife.it; vengono proposte anche delle date per le prove orali, ma i docenti sono disponibili a fissare ulteriori date da concordare a seconda delle disponibilità.
Testi
Il testo di riferimento principale per il corso è il seguente libro:
- H. Brezis "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations" (Springer)
Eventuali altre referenze verranno indicate durante il corso.
- H. Brezis "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations" (Springer)
Eventuali altre referenze verranno indicate durante il corso.
Contenuti (2)
01 – Introduzione al problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson
02 – Teorema di Hahn-Banach versione analitica
03 – Funzionali di Minkowski
04 – Teorema di Hahn Banach versione geometrica
05 – Lemma di Baire e Teorema di Banach-Steinhaus
06 – Teorema della mappa aperta e teorema del grafico chiuso
07 – Applicazioni dei teoremi fondamentali
08 – Costruzioni di topologie
09 – Topologia debole
10 – Proprietà della topologia debole
11 – Topologia debole-*
12 – Topologie prodotto e teorema di Tychonoff
13 – Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki
14 – Teorema di Kakutani
15 – Proprietà degli spazi riflessivi
16 – Proprietà degli spazi separabili
17 – Separabilità e metrizzabilità
18 – Spazi uniformemente convessi
19 – Riflessività, separabilità e dualita per spazi L^p con 1
21 – Compattezza forte e richiami sul teorema di Ascoli-Arzelà
22 – Teorema di Kolmogorov-Riesz-Fréchet
23 – Proprietà degli spazi di Hilbert
24 – Proiezioni, dualità, e teorema di rappresentazione di Riesz
25 – Operatori compatti
26 – Teoria di Riesz-Fredholm
27 – Spettro di un operatore compatto
28 – Decomposizione spettrale di operatori compatti auto-aggiunti
29 – Esempi di operatori compatti
30 – Derivate deboli e spazi di Sobolev
31 - Problemi al bordo per equazioni del secondo ordine
32 – Spettro del laplaciano su domini limitati
Codice ClassRoom: uesdycpg
02 – Teorema di Hahn-Banach versione analitica
03 – Funzionali di Minkowski
04 – Teorema di Hahn Banach versione geometrica
05 – Lemma di Baire e Teorema di Banach-Steinhaus
06 – Teorema della mappa aperta e teorema del grafico chiuso
07 – Applicazioni dei teoremi fondamentali
08 – Costruzioni di topologie
09 – Topologia debole
10 – Proprietà della topologia debole
11 – Topologia debole-*
12 – Topologie prodotto e teorema di Tychonoff
13 – Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki
14 – Teorema di Kakutani
15 – Proprietà degli spazi riflessivi
16 – Proprietà degli spazi separabili
17 – Separabilità e metrizzabilità
18 – Spazi uniformemente convessi
19 – Riflessività, separabilità e dualita per spazi L^p con 1
21 – Compattezza forte e richiami sul teorema di Ascoli-Arzelà
22 – Teorema di Kolmogorov-Riesz-Fréchet
23 – Proprietà degli spazi di Hilbert
24 – Proiezioni, dualità, e teorema di rappresentazione di Riesz
25 – Operatori compatti
26 – Teoria di Riesz-Fredholm
27 – Spettro di un operatore compatto
28 – Decomposizione spettrale di operatori compatti auto-aggiunti
29 – Esempi di operatori compatti
30 – Derivate deboli e spazi di Sobolev
31 - Problemi al bordo per equazioni del secondo ordine
32 – Spettro del laplaciano su domini limitati
Codice ClassRoom: uesdycpg
01 – Introduzione al problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson
02 – Teorema di Hahn-Banach versione analitica
03 – Funzionali di Minkowski
04 – Teorema di Hahn Banach versione geometrica
05 – Lemma di Baire e Teorema di Banach-Steinhaus
06 – Teorema della mappa aperta e teorema del grafico chiuso
07 – Applicazioni dei teoremi fondamentali
08 – Costruzioni di topologie
09 – Topologia debole
10 – Proprietà della topologia debole
11 – Topologia debole-*
12 – Topologie prodotto e teorema di Tychonoff
13 – Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki
14 – Teorema di Kakutani
15 – Proprietà degli spazi riflessivi
16 – Proprietà degli spazi separabili
17 – Separabilità e metrizzabilità
18 – Spazi uniformemente convessi
19 – Riflessività, separabilità e dualita per spazi L^p con 1
21 – Compattezza forte e richiami sul teorema di Ascoli-Arzelà
22 – Teorema di Kolmogorov-Riesz-Fréchet
23 – Proprietà degli spazi di Hilbert
24 – Proiezioni, dualità, e teorema di rappresentazione di Riesz
25 – Operatori compatti
26 – Teoria di Riesz-Fredholm
27 – Spettro di un operatore compatto
28 – Decomposizione spettrale di operatori compatti auto-aggiunti
29 – Esempi di operatori compatti
30 – Derivate deboli e spazi di Sobolev
31 - Problemi al bordo per equazioni del secondo ordine
32 – Spettro del laplaciano su domini limitati
Codice ClassRoom: uesdycpg
02 – Teorema di Hahn-Banach versione analitica
03 – Funzionali di Minkowski
04 – Teorema di Hahn Banach versione geometrica
05 – Lemma di Baire e Teorema di Banach-Steinhaus
06 – Teorema della mappa aperta e teorema del grafico chiuso
07 – Applicazioni dei teoremi fondamentali
08 – Costruzioni di topologie
09 – Topologia debole
10 – Proprietà della topologia debole
11 – Topologia debole-*
12 – Topologie prodotto e teorema di Tychonoff
13 – Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki
14 – Teorema di Kakutani
15 – Proprietà degli spazi riflessivi
16 – Proprietà degli spazi separabili
17 – Separabilità e metrizzabilità
18 – Spazi uniformemente convessi
19 – Riflessività, separabilità e dualita per spazi L^p con 1
21 – Compattezza forte e richiami sul teorema di Ascoli-Arzelà
22 – Teorema di Kolmogorov-Riesz-Fréchet
23 – Proprietà degli spazi di Hilbert
24 – Proiezioni, dualità, e teorema di rappresentazione di Riesz
25 – Operatori compatti
26 – Teoria di Riesz-Fredholm
27 – Spettro di un operatore compatto
28 – Decomposizione spettrale di operatori compatti auto-aggiunti
29 – Esempi di operatori compatti
30 – Derivate deboli e spazi di Sobolev
31 - Problemi al bordo per equazioni del secondo ordine
32 – Spettro del laplaciano su domini limitati
Codice ClassRoom: uesdycpg
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Codice ClassRoom:
https://classroom.google.com/c/MjM0MjYwMTQ4NTZa?cjc=uesdycpg
https://classroom.google.com/c/MjM0MjYwMTQ4NTZa?cjc=uesdycpg
Corsi
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MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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