55833 - ALGEBRA COMMUTATIVA E GEOMETRIA ALGEBRICA

insegnamento

ID:

55833

Tipo Insegnamento:

Opzionale

Durata (ore):

64

CFU:

SSD:

GEOMETRIA

Url:

Dettaglio Insegnamento:

MATEMATICA/GENERALE Anno: 1

Anno:

2025

Periodo di attività

Secondo Semestre (23/02/2026 - 05/06/2026)

Obiettivi Formativi

Acquisire una solida conoscenza delle strutture algebriche fondamentali (anelli, ideali, moduli) e dei principali teoremi dell'algebra commutativa (Nullstellensatz, teorema della base di Hilbert, normalizzazione di Noether). Comprendere il legame fra algebra e geometria: utilizzare anelli di coordinate, localizzazioni e decomposizioni primarie per descrivere le varietà affini e proiettive. Sviluppare capacità di calcolo attraverso esempi concreti (curve, superfici, immersioni di Segre e Veronese) e prepararsi a corsi avanzati o attività di ricerca in geometria algebrica.

Prerequisiti

Conoscenze di base di algebra lineare e algebra astratta: gruppi, anelli, campi e moduli. Familiarità con la teoria degli anelli di polinomi e con la topologia elementare.

Metodi didattici

Lezioni frontali alla lavagna.

Verifica Apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta con cinque esercizi di cui tre standard, e due più teorici.

Testi

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. D. Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. J. Harris: Algebraic Geometry – A First Course.

Contenuti

Anelli, ideali e moduli (4 ore) Definizioni di anelli commutativi con identità, ideali, moduli e morfismi; ideali primi e massimali; esempi come l’anello degli interi e gli anelli di polinomi. Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert (4 ore) Catene ascendenti di ideali; anelli e moduli noetheriani; teorema della base di Hilbert; ideali minimali e radicali; nilradicale e radicale di Jacobson. Localizzazione e spettro di un anello (4 ore) Localizzazione di anelli e moduli; anelli locali; spettro Spec A e topologia di Zariski; ideali primi come “punti” delle varietà. Radicali e teorema di Hilbert‑Nullstellensatz (4 ore) Radicali e nilradicale; formulazioni debole e forte del Nullstellensatz; corrispondenza ideale–varietà; anelli delle coordinate. Estensioni integrali e chiusura integrale (4 ore) Estensioni integrali, elementi integrali e chiusura integrale; ideali primi nelle estensioni; domini di valutazione discreta e anelli di Dedekind. Teorema di normalizzazione di Noether e dimensione (4 ore) Teorema di normalizzazione di Noether; catene di ideali primi e dimensione di Krull; dimensione di un’algebra affina e teorema di altezza. Decomposizione primaria e teorema di Noether‑Lasker (4 ore) Decomposizione primaria degli ideali; ideali primari associati; teorema di Noether‑Lasker; applicazioni geometriche alla struttura delle varietà. Moduli, prodotti tensoriali e piattezza (4 ore) Moduli liberi, quozienti, prodotti; prodotto tensoriale e proprietà universale; moduli piatti; lemma di Artin–Rees e sue applicazioni. Anelli artiniani, domini di valutazione e completamenti (4 ore) Confronto tra anelli artiniani e noetheriani; domini di valutazione discreta e Dedekind; completamento di anelli locali e serie formali. Varietà affini e topologia di Zariski (4 ore) Varietà affini come soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali; topologia di Zariski; corrispondenza fondamentale tra ideali radicali e sottovarietà. Funzioni regolari e mappe di varietà (2 ore) Funzioni regolari e morfismi di varietà; funzioni razionali e campi delle funzioni; fascio delle funzioni regolari e introduzione ai fasci. Varietà proiettive e coordinate omogenee (2 ore) Spazio proiettivo e varietà proiettive; anello di coordinate omogenee; costruzione di Proj e confronto con il caso affine; mappe tra varietà proiettive. Immersioni classiche: Segre e Veronese (2 ore) Definizioni e proprietà delle immersioni di Segre e Veronese; varietà di Grassmann e flag; prodotti, proiezioni e prime nozioni di mappe birazionali. Dimensione, grado e spazio tangente (2 ore) Dimensione e grado di una varietà; polinomio di Hilbert; spazio tangente di Zariski e concetto di liscezza; singolarità e coni tangenti; esempi concreti. Polinomio di Hilbert, blow‑up e divisori (4 ore) Funzione e polinomio di Hilbert; blow‑up e trasformazioni monoidali; divisori e fasci invertibili; line bundles e mappe in spazi proiettivi. Teoremi avanzati e applicazioni (4 ore) Cenno alla formula di Riemann–Roch per curve; mappe birazionali e campi di funzioni; esempi di varietà determinantal, quadrice, secanti; introduzione agli schemi e alla rappresentabilità. Introduzione all'algebra computazionale e a Magma (https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/) (8 ore).