141560 - STATISTICS AND MODELLING

Probabilità Fenomeno aleatorio, fenomeno deterministico. Eventi e fatti, algebra di Boole Definizione di probabilità (classica, frequenzista, soggettiva e assiomatica). Spazio campionario, sigma-algebra, spazio misurabile. Misura, spazio di misura e spazio di probabilità. Cardinalità, spazi di probabilità uniformi; calcolo combinatorio. implicazione logica. Probabilità condizionata, teorema della probabilità composta, indipendenza statistica. Disuguaglianza di Boole, teorema della probabilità assoluta, partizione dello spazio campionario, teorema di Bayes. Esempi e problemi. Applicazioni in campo scientifico e tecnologico Affidabilità di processo, applicazione al controllo di qualità, ingegneria dell'affidabilità, Esempi e problemi. Teoria delle variabili aleatorie Variabile aleatoria, funzione di ripartizione. Variabile aleatoria discreta, supporto, distribuzione di probabilità. Variabile aleatoria assolutamente continua, densità di probabilità. Variabile aleatoria multivariata, distribuzione congiunta, distribuzione marginale. Variabili indipendenti. Trasformazione di variabile aleatoria. Speranza matematica, momenti di una variabile aleatoria, varianza e covarianza. Analogia meccanica della distribuzione di masse: baricentro e momento d’inerzia. Funzione generatrice dei momenti (e suo legame con la trasformata di Laplace) , funzione caratteristica (e suo legame con la trasformata di Fourier). Variabili indipendenti e identicamente distribuite. Convoluzione, teorema di convoluzione. Indici di posizione: valore atteso, moda, mediana. Indici di dispersione: varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione, scarto interquartile. Quantile, asimmetria, curtosi. . Esempi e problemi. Esempi di variabili aleatorie Variabile uniforme discreta, variabile bernoulliana, variabile degenere. variabile geometrica e tempo di ritorno. variabile binomiale, variabile ipergeometrica, variabile poissoniana e legge dei piccoli numeri. Variabile uniforme continua. Variabile esponenziale, variabili prive di memoria, variabile gamma. Variabile di Weibull, tempo medio fra i guasti: guasti di rodaggio, accidentali e da usura. Variabile normale, variabile lognormale. Variabile di Pareto, variabile di Cauchy. Variabili aleatorie inferenziali: variabile casuale chi quadro, variabile t di Student, variabile Z di Fisher. Esempi e problemi.   Convergenza delle variabili aleatorie Convergenza di successioni di variabili aleatorie. Confronto con la convergenza di successioni di numeri reali. Convergenza in distribuzione. convergenza in probabilità. Disuguaglianza di Chebyshev. Legge debole dei grandi numeri (secondo Khinchin e Chebyshev). Teorema del limite centrale. Esempi e problemi. Teoria dei campioni e statistiche empiriche Statistica descrittiva, variabile statistica, campione statistico, popolazione. Osservazione, spazio delle osservazioni. Campionamento casuale, campione numeroso e non numeroso. Principio del campionamento ripetuto, Distribuzioni empiriche. Statistiche, media campionaria, scarto quadratico medio campionario, mediana campionaria, moda campionaria. Teorema di ripartizione del chi quadro. Gradi di libertà, vincoli, correzione euristica di stimatori. Elementi di teoria degli errori: valore vero, teoria degli errori, precisione, accuratezza. Esempi e problemi. Teoria della stima parametrica Inferenza statistica, teoria della stima, statistica parametrica; stime e stimatore; correttezza, consistenza, efficienza. Spazio dei parametri. Funzione di verosimiglianza, metodo della massima verosimiglianza, stimatore di massima verosimiglianza. Informazione di Fisher, Disuguaglianza di Cramér-Rao, Efficienza di uno stimatore. Stima dell’intervallo di confidenza, livello di confidenza e del livello di rischio. Variabili aleatorie ancillari e loro impiego per la stima intervallare. Teoria della stima non parametrica Errore statistico e funzione di perdita, analisi della regressione. Regressione lineare, correlazione, coefficiente di correlazione. Stimatori di massima verosimiglianza per la regressione lineare, omoschedasticità, metodo dei minimi quadrati, bontà della stima lineare. Esempi e problemi. Verifica di ipotesi Verifica classica d'ipotesi, problemi decisionali. Ipotesi statistiche, ipotesi nulla, errore di prima specie (falso positivo), errore di seconda specie (falso negativo), livello di significatività, rischio e potenza di un test, distribuzione di campionamento, valore-p. Test parametrico, test t di Student per la verifica d'ipotesi su un valor medio, Test di Fisher. Lemma fondamentale di Neyman-Pearson. Scelta del test; campioni singoli, appaiati o autoappaiati, campioni indipendenti. Test non parametrici: tabella di contingenza, test binomiale, test dei segni, test di McNemar, test esatto di Fisher, test della mediana. Test di adattamento: test del chi quadrato di Pearson, test di Kolmogorov-Smirnov. Esempi e problemi. Analisi della varianza (ANOVA) Analisi della varianza a una via, analisi a due vie. Esempi e problemi.