162792 - TEORIA DELLA MISURA

insegnamento
ID:
162792
Tipo Insegnamento:
Opzionale
Durata (ore):
48
CFU:
6
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Sede:
Ferrara - Università degli Studi
Url:
MATEMATICA/DIDATTICO Anno: 2
MATEMATICA/DIDATTICO Anno: 3
MATEMATICA/GENERALE Anno: 2
MATEMATICA/GENERALE Anno: 3
MATEMATICA/TEORICO Anno: 2
MATEMATICA/TEORICO Anno: 3
Anno:
2024

Dati Generali

Periodo di attività

Secondo Semestre (24/02/2025 - 06/06/2025)

Syllabus

Obiettivi Formativi

Obiettivo del corso è far conoscere le nozioni base della teoria della misura e dell'integrazione,
sia classica che, a seconda dell'interesse degli studenti, stocastica.
Tali metodi verranno utilizzati per affrontare alcuni semplici problemi di
calcolo delle variazioni ed in caso di equazioni stocastiche.
Si vuole presentare la teoria dell'integrazione
partendo con la teoria dell'integrale di Riemann e Riemann-Stieltjies. Si presenteranno i limiti di tale
teoria e si richiameranno, con opportuni confronti, la teoria di Lebesgue. Quindi si generalizzera'
tale teoria alla teoria della misura astratta, introducendo la nozione di misura esterna e di insieme misurabile.
Si applicherà tale teoria quindi allo studio delle proprietà di alcune importanti classi di funzioni;
funzioni monotone, funzioni a variazione limitata, funzioni Lipschitz e funzioni convesse.

Le abilità che lo studente deve acquisire durante il corso saranno il riconoscimento
di problemi che possono essere trattati in modo variazionale, capendo se le soluzioni di dati problemi esistono
e quali regolarità bisogna aspettarsi da tali soluzioni. Con i metodi esposti durante il corso,
lo studente dovrà quindi essere in grado di determinare le soluzioni di suddetti problemi, almeno
in casi particolari.

Prerequisiti

Strumenti standard di Analisi 1 e 2. Tra questi, teoria dell'integrazione alla Riemann,
teoremi di compattezza tipo Ascoli-Arzelà, proprietà principali degli spazi metrici
(completezza, completamento, compattezza) e nozioni base di equazioni differenziali.

Metodi didattici

Il corso si svolge mediante lezioni principalmente su base teorica durante le quali si svilupperanno
i principali strumenti; durante le lezioni si cercherà di presentare anche la parte più pratica
presentando alcune applicazioni della teoria presentata. Durante le lezioni
verranno proposti e caricati sulla ClassRoom degli esercizi che verrano usati come base per la prova
d'esame.


Comunicazioni sul corso e materiale didattico verranno caricati sulla ClassRoom

https://classroom.google.com/c/NzAxMjQ1NTA4MzI4?cjc=xhuykss

Verifica Apprendimento

La verifica delle conoscenze acquisite è suddivisa in due prove; un esame scritto ed un colloquio orale.
Nella prova scritta si richiederà lo svolgimento di quattro esercizi su quattro argomenti diversi
trattati durante il corso. Tali esercizi saranno una scelta e/o lieve modifica degli esercizi che
verranno proposti durante il corso. La prova scritta si riterrà superata se la valutazione sarà superiore
Ai 15/30.

Il colloquio orale, che si baserà sullo svolgimento degli esercizi svolti nella prova scritta, avrà la durata
di 40/45 minuti ed oltre che chiarimenti relativi agli esercizi dello scritto potrà riguardare un qualsiasi
argomento trattato nel corso.

Una volta superata la prova scritta si avrà a disposizione al massimo una settimana per svolgere la prova orale.

Per quanto riguarda le date delle prove scritte, verranno pubblicate su studiare.unife.it e le date pubblicate
sono da considerarsi fissate una volta per tutte. Per quanto riguarda invece le prove orali, verrà indicata
studiare.unife.it una data indicativa e sarà tipicamente il giorno dopo lo scritto o pochi giorni dopo. Si potranno
concordare altre date per la prova orale, ma sempre subordinate al vincolo di dover fare l'orale entro una
settimana dalla prova scritta.

Testi

Cohn,
"Measure Theory",
Birkhaeuser

Dudley,
"Real analysis and probability",
Cambridge studies in Advanced analysis.

Oltre ai testi segnalati, vengono distribuite delle dispense scritte dal docente, reperibili sul sito del docente e del corso.

Contenuti

Nel corso verrà studiata la teoria generale della misura. Il programma del corso è
indicativamente il seguente.

- Teoria della misura astratta; algebre e sigma-algebre, misure e misure esterne, misurabilità,
completezza e regolarità delle sigma-algebre.

- Funzioni misurabili e spazi di Lebesgue. Proprietà delle funzioni misurabili,
proprietà valide quasi ovunque, teoria dell'integrazione rispetto ad una misura arbitraria,
teoremi di convergenza (Fatou, Beppo-Levi, Lebesgue). Confronto tra la teoria dell'integrazione
alla Riemann e alla Lebesgue. Funzioni misurabili tra spazi di misura arbitrari
e definizione della misura immagine.

- Spazi di Lebesgue rispetto a misure arbitrarie; studio della convergenza quasi ovunque,
in misura e quasi uniforme.

- Misura prodotto e Teorema di Fubini. Coincidenza tra misure e classi di Dynkin.

- Elementi di teoria della probabilità; variabili aleatorie, processi stocastici, filtrazioni,
indipendenza, speranze condizionali, martingali ed introduzione del moto Browniano.

- Teoremi di Radon-Nikodym e Besicovitch; misure vettoriali, misure assolutamente continue e
singolari, teoremi di ricoprimento, decomposizione di Radon-Nikodym e introduzione agli
Spazi di Sobolev uno-dimensionali.

- Integrale di Riemann-Stieltjies; funzioni monotone, funzioni a variazione limitata,
funzioni convesse ed integrale di Riemann-Stieljies per funzioni a variazione limitata.
Funzioni assolutamente continue.

- Moti Browniani; misura di Wiener ed integrale stocastico, Teoremi di Kolmogorov ed
applicazioni alle equazioni differenziali stocastiche.

- Misure di Hausdorff; definizioni principali, dimensione di Hausdorff, insiemi frattali,
confronto con misure su curve e superfici regolari ed applicazione ad alcuni problemi di
Calcolo delle Variazioni (disuguaglianza isodiametrica).

Codice ClassRoom:

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Lingua Insegnamento

ITALIANO

Altre informazioni

Codice ClassRoom

https://classroom.google.com/c/NzAxMjQ1NTA4MzI4?cjc=xhuykss

Corsi

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MATEMATICA 
Laurea
3 anni
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