Obiettivo del corso è lo studio dell’algebra lineare e delle sue applicazioni alla geometria affine e euclidea. L’obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi dell’algebra lineare. L’algebra lineare è essenzialmente lo studio dei fenomeni lineari. I fenomeni lineari sono quelli più semplici e quindi la loro teoria è molto avanzata e completa, inoltre servono per approssimare fenomeni più complicati (da cui, per esempio, l’uso della derivata per studiare funzioni ‘’complicate’’). Per questo motivo l’algebra lineare si ritrova in tutti i settori della matematica. Un altro obiettivo è di mostrare allo studente come questa teoria (come le altre teorie matematiche) possa essere sviluppata, rigorosamente, tramite dimostrazioni, partendo dalle nozioni di base (elementi di logica, teoria degli insiemi). Si mostrerà poi come la geometria affine e la geometria euclidea siano conseguenze dell’algebra lineare (e multi-lineare). Per quanto riguarda la geometria affine si porrà in evidenza la corrispondenza tra il punto di vista sintetico-geometrico e quello algebrico. Al termine del corso lo studente avrà acquisito familiarità con le principali tecniche di dimostrazione usate in matematica (induzione, assurdo, contrapposizione) e sarà in grado di risolvere problemi standard (e meno standard) di algebra lineare e geometria (affine e euclidea).
L'ultima parte del corso sarà dedicata all'introduzione dello spazio proiettivo.
Prerequisiti
Nozioni di base della teoria degli insiemi (unione, intersezione, applicazioni, applicazioni iniettive, suriettive, biiettive). Sapere risolvere (''per sostituzioni'') un sistema lineare di due o tre equazioni in poche variabili (due, tre o quattro).
Metodi didattici
Lezioni in presenza e esercizi da svolgere a casa.
Verifica Apprendimento
Due prove scritte parziali: P1 nella sessione di gennaio (sulla prima metà del corso) e P2 nella sessione di giugno (sula seconda metà del corso). Il punteggio massimo di ogni parziale è 32. Il voto finale sarà la media dei due parziali. L'esame è superato se questa media è almeno 18. In caso contrario o se si preferisce rifiutare il voto ottenuto nei parziali si potrà sostenere una prova scritta totale (su tutto il corso) il cui punteggio massimo è 32.
Testi
Appunti scritti da Philippe Ellia disponibili sulla classroom del corso.
Contenuti
I) Preliminari. Elementi di logica, metodi di dimostrazione. Insiemi. Applicazioni. Relazioni d’equivalenza. Gruppi. Anelli, corpi, campi. II) Algebra lineare Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Spazi finitamente generati. Indipendenza lineare, basi. Teorema del rango, relazione di Grassmann. Anello degli endomorfismi. Dualità. Sistemi lineari omogenei e dualità. Scrittura matriciale delle applicazioni lineari. Cambiamenti di base. Rango di una matrice. Determinanti. Calcolo di un determinante. Rango e determinanti. Diagonalizzazione. Sistemi lineari. III) Geometria affine Sotto spazi affini di uno spazio vettoriale. Equazioni degli sotto spazi affini. Parallelismo e incidenze. Incidenze nel piano e nello spazio. Riferimenti affini, affinità. Teoria generale. IV) Geometria euclidea Forme bilineari. Forme bilineari simmetriche. Ortogonalità rispetto a una forma bilineare simmetrica. Basi ortogonali. Basi ortonormali, teorema di Sylvester. Spazi metrici (cenni). Spazi vettoriali normati (cenni). Spazi vettoriali euclidei. Isometrie vettoriali. Isometrie. Classificazione delle isometrie del piano. V) Lo spazio proiettivo.
