L'obiettivo del corso di Analisi Matematica I è quello di fornire conoscenze di base di calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale. Si introducono anche quelle prime nozioni di equazioni differenziali indispensabili per affrontare i corsi del secondo anno. Le principali conoscenze fornite dal corso sono: successioni, funzioni continue e derivabili, integrale di Riemann ed integrali impropri, serie numeriche, equazioni differenziali lineari e a variabili separabili. Le principali abilità che gli studenti acquisiranno sono: saper calcolare limiti di successioni; saper calcolare limiti e derivate di funzioni in modo da poter tracciare il grafico di una funzione; saper calcolare integrali di funzioni tramite, ad esempio, il metodo di integrazione per parti o il cambiamento di variabili; saper studiare la convergenza di una serie tramite, ad esempio, criteri del confronto, della radice o del rapporto; saper risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine, o di ordine qualunque ma a coefficienti costanti; saper risolvere equazioni differenziali a variabili separabili.
Prerequisiti
Nozioni di matematica usualmente insegnate nelle scuole secondarie: equazioni e disequazioni (di primo e secondo grado, con valori assoluti, con radici, fratte), potenze, logaritmi, esponenziali, trigonometria. Tali contenuti vengono affrontati durante il precorso di matematica, prima dell'inizio delle lezioni, e verranno poi solo brevemente richiamati nei primi giorni di lezione.
Metodi didattici
Si svolgeranno lezioni teoriche ed esercitazioni. Nello svolgimento degli esercizi si cercherà anche di coinvolgere gli studenti. Verranno assegnati esercizi da svolgere a casa.
Verifica Apprendimento
Ogni appello di esame consta di una prova scritta (totale) ed una prova orale. Tali prove sono volte a verificare l'apprendimento delle tematiche del corso. Più dettagliatamente, lo scritto è predisposto per vagliare la capacità di risoluzione di esercizi, mentre l'orale si propone di verificare l'acquisizione anche della parte teorica del corso. Per la prova scritta vengono dati esercizi con argomenti che possono spaziare nell'intero programma del corso. Si è ammessi all'orale con una valutazione della prova scritta di almeno 18/30. Alternativamente, invece dello scritto si possono sostenere delle prove parziali. Se la media dei parziali è almeno 18 si è esonerati dal sostenere la prova scritta totale. Con le prove scritte parziali si può sostenere la prova orale in un qualsiasi appello, mentre con lo scritto totale si può sostenere solo la prova orale del medesimo appello. Le prove parziali sono valide per un anno. Se lo studente non supera la prova orale deve rifare sia la prova scritta che l'orale.
Testi
Libro di testo adottato: M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli "Analisi Matematica'' McGraw-Hill
Si consiglia sempre l'ultima edizione disponibile.
Contenuti
La durata complessiva del corso è di 96 ore. Brevi richiami di insiemistica e trigonometria (1 ora). Introduzione di N, Z, Q ed R (1 ora e 1/2). Principio di induzione (2 ore e 1/2). Cenni sui numeri complessi (2 ore e 1/2). Nozione di funzione e concetti di limite e continuità; proprietà delle funzioni continue (26 ore). Successioni e serie numeriche (14 ore). Calcolo differenziale per funzioni di una variabile (13 ore).Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange (3 ore). Studio di funzione (disegno del grafico) (3 ore e 1/2). Integrale di Riemann per funzioni di una variabile (18 ore). Primi metodi risolutivi per equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili (13 ore).
