Acquisizione di alcune conoscenze di base proprie dell'Algebra con particolare riferimento a: anelli, morfismi, anelli quoziente, anello dei polinomi, domini fattoriali, domini ad ideali principali, campo dei quozienti di un dominio, estensioni di campi, campi finiti. Lo studente avrà inoltre le basi necessarie per affrontare corsi di Teoria dei moduli e anelli, di Teoria delle categorie e di Teoria di Galois. Al termine del corso lo studente avrà sviluppato un procedimento logico e saprà esprimersi con un linguaggio scientifico appropriato e un formalismo matematico corretto che gli permetterà di risolvere problemi di base riguardanti le strutture algebriche fondamentali quali anelli quoziente ed estensioni algebriche semplici.
Prerequisiti
Aalgebra I
Metodi didattici
Tutti i concetti che compaiono nel programma saranno introdotti e spiegati nelle lezioni del corso. Anche tutti i teoremi e rispettivi prerequisiti, che appaiono nel programma del corso saranno dimostrati con tutti i dettagli del caso. Per illustrare un nuovo concetto e/o una nuova definizione, verranno forniti esempi esplicativi. Per aiutare l'acquisizione della la teoria, verranno dati e risolti esercizi. Per stimolare l’interesse dello studente, durante il corso verranno proposti ulteriori esercizi. Gli studenti interessati potranno dare gli esercizi svolti al docente per la loro correzione e discussione. Saranno messi a disposizione test di autovalutazione sulla piattaforma Moodle.
Verifica Apprendimento
L'esame tradizionale si articola in un esame scritto e in un esame orale. Tali prove sono volte a verificare l'apprendimento delle tematiche del corso. Più dettagliatamente lo scritto è predisposto per vagliare la capacità di risoluzione di esercizi di tipo standard svolti durante il corso, mentre l'orale si propone di verificare l'acquisizione anche della parte teorica del corso con particolare riferimento alla successione logica dei risultati ottenuti.
Le prove scritte consistono di cinque esercizi ai quali si attribuisce una votazione da 0 fino a 7.
Testi
C. Menini and F. Van Oystaeyen, "Abstract Algebra, A comprehensive Treatment", Marcel Dekker.
Contenuti
Anelli e morfismi d'anello. Ideali. Teorema di corrispondenza per anelli. Teorema fondamentale dell'anello quoziente e Teoremi di isomorfismo. Caratteristica di un anello. Teorema di Fermat. L'anello degli interi. Prodotto diretto di anelli. Teorema cinese del resto. Sistemi di congruenze. Domini di integrità, campi. Ideali primi e massimali. Lemma di Zorn. Lemma di Krull. Anello delle serie formali, anello dei polinomi e sua Proprietà universale. Divisione fra polinomi. Teorema di Ruffini. Funzioni polinomiali. Ideali generati da un sottoinsieme. Domini ad ideali principali e domini euclidei. L'anello degli interi di Gauss. Domini fattoriali. Il campo dei quozienti di un dominio. Il campo dei numeri razionali. Fattorialità dell'anello dei polinomi a coefficienti in un dominio fattoriale. Criterio di Eisenstein. (34 ore) Estensioni di campi, estensioni semplici. Caratterizzazione delle estensioni algebriche semplici e delle estensioni finite. Teorema della torre. Campi algebricamente chiusi, chiusura algebrica e Teorema fondamentale dell'Algebra (solo enunciato). Campi finiti. Algoritmo di Berlekamp. (22 ore)
