Acquisizione di alcune conoscenze di base proprie dell'Algebra con particolare riferimento a: insiemi, applicazioni, insiemi quoziente, gruppi, morfismi, gruppi quoziente, anelli, morfismi, anelli quoziente. Lo studente avrà inoltre le basi necessarie per affrontare corsi di Teoria degli anelli e di Teoria dei campi. Al termine del corso lo studente avrà sviluppato un procedimento logico e saprà esprimersi con un linguaggio scientifico appropriato e un formalismo matematico corretto che gli permetterà di risolvere problemi di base riguardanti le strutture algebriche fondamentali quali i gruppi ciclici, gruppi quoziente, gruppi prodotto.
Prerequisiti
Nessuno
Metodi didattici
Tutti i concetti che compaiono nel programma saranno introdotti e spiegati nelle lezioni del corso. Anche tutti i teoremi e rispettivi prerequisiti, che appaiono nel programma del corso saranno dimostrati con tutti i dettagli del caso. Per illustrare un nuovo concetto e/o una nuova definizione, verranno forniti esempi esplicativi. Per aiutare l'acquisizione della la teoria, verranno dati e risolti esercizi. Per stimolare l’interesse dello studente, durante il corso verranno proposti ulteriori esercizi. Gli studenti interessati potranno dare gli esercizi svolti al docente per la loro correzione e discussione. Saranno messi a disposizione degli esercizi di autovalutazione su piattaforma Moodle.
Verifica Apprendimento
L'esame tradizionale si articola in un esame scritto e in un esame orale. Tali prove sono volte a verificare l'apprendimento delle tematiche del corso. Più dettagliatamente lo scritto è predisposto per vagliare la capacità di risoluzione di esercizi di tipo standard svolti durante il corso, mentre l'orale si propone di verificare l'acquisizione anche della parte teorica del corso con particolare riferimento alla successione logica dei risultati ottenuti. Le prove scritte consistono di cinque esercizi ai quali si attribuisce una votazione da 0 fino a 7.
Testi
C. Menini and F. Van Oystaeyen, "Abstract Algebra, A comprehensive Treatment", Marcel Dekker. R. R. Stoll. “Set Theory and Logic”, Dover.
Contenuti
Generalità sugli insiemi. Operazioni binarie. Prodotto cartesiano. Funzioni. Relazioni di equivalenza. Partizioni. Insieme quoziente. Relazioni d’ordine. Assiomi di Peano e numeri naturali. Cardinalità. (24 ore) Gruppoidi. Semigruppi. Gruppi. Morfismi, nucleo e immagine. Teorema di corrispondenza per gruppi. Gruppo simmetrico e Gruppo diedrale. Prodotto diretto di gruppi. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Teorema fondamentale del gruppo quoziente e Teoremi di isomorfismo. Gruppi ciclici. Rappresentazione di un gruppo. Teorema di Cayley. Formula delle classi. Teorema di Cauchy. Gruppi liberi. Permutazioni coniugate e classi di coniugio. Gruppo alterno. Semplicità del gruppo alterno. (40 ore)
