008816 - ANALISI MATEMATICA III

insegnamento

ID:

008816

Tipo Insegnamento:

Obbligatorio

Durata (ore):

48

CFU:

SSD:

ANALISI MATEMATICA

Url:

Dettaglio Insegnamento:

MATEMATICA/PERCORSO COMUNE Anno: 3

Anno:

2025

Periodo di attività

Primo Semestre (17/09/2025 - 23/12/2025)

Obiettivi Formativi

Questo è il terzo ed ultimo corso fondamentale di Analisi Matematica che lo studente incontra nel triennio. In esso vengono presentati i teoremi basilari e le principali tecniche di analisi reale e complessa, nonché alcune loro applicazioni. L'obiettivo principale del corso è far conoscere allo studente la struttura e le proprietà principali degli spazi di Banach e di Hilbert, con particolare riferimento agli spazi L^p, e alla trasformata e alla serie di Fourier. Il secondo obiettivo è far capire allo studente, mediante esempi ed esercizi, come questi spazi e questi strumenti siano ampiamente utilizzati non solo in matematica ma anche in fisica, ingegneria, e nelle altre scienze. Le principali conoscenze acquisite saranno: - conoscenza degli spazi L^p e dei principali teoremi connessi - conoscenza del concetto di convoluzione tra due funzioni misurabili - conoscenza del concetto di operatore lineare limitato tra spazi di Banach e norma dell'operatore - conoscenza del concetto di spazio di Hilbert, dei principali esempi, delle proprietà, dei principali teoremi, in particolare proiezioni ortogonali - conoscenza della serie di Fourier in L^2 e delle sue proprietà di convergenza - conoscenza della trasformata di Fourier in L^1 e L^2, delle sue principali proprietà, dei teoremi di inversione. Le principali abilità acquisite saranno: - capacità di riconoscere funzioni L^p ed operare con esse, utilizzando in maniera autonoma strumenti quali le disuguaglianze di Hölder e Minkowski - capacità di riconoscere convoluzioni ed operare con esse, riconoscendo i supporti e le proprietà di regolarità del risultato di una convoluzione - capacità di studiare la linearità e continuità di un operatore tra spazi di Banach - capacità di riconoscere spazi di Hilbert, saper operare autonomamente con essi, in particolare con le proiezioni ortogonali - capacità di calcolare la serie di Fourier di funzioni periodiche regolari a tratti - capacità di calcolare la trasformata di Fourier di funzioni e di utilizzare le proprietà della trasformata.

Prerequisiti

E' necessario aver acquisito ed assimilato i contenuti degli insegnamenti di Analisi I e II, ed è consigliato avere buona conoscenza dei concetti di base di topologia.

Metodi didattici

Si svolgeranno lezioni teoriche ed esercitazioni. I numerosi esempi ed esercizi svolti dal docente in classe verteranno su tutti gli argomenti trattati. Verranno proposti allo studente diversi esercizi da svolgere autonomamente a casa. L'insegnamento si svolge in presenza. Le comunicazioni relative al corso ed eventuale materiale didattico verranno caricati sulla ClassRoom: https://classroom.google.com/c/MjE2MDE0MzYzODJa

Verifica Apprendimento

La verifica dell'apprendimento dei contenuti del corso avviene tramite un esame finale, il quale si articola in due prove: - una prova scritta, in cui viene richiesta la risoluzione di esercizi - una prova orale alla lavagna, che consiste in un colloquio riguardante gli argomenti del corso (definizioni, teoremi, e loro applicazioni). Risulta ammesso alla prova orale chi riporta un voto maggiore o uguale a 15 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nell'ambito della stessa sessione d'esami della prova scritta. Il voto finale tiene conto di entrambe le prove. Esso non è dato dalla media aritmetica tra il voto conseguito nella prova scritta e quello conseguito nella prova orale, bensì da una valutazione complessiva del livello di preparazione dello studente.

Testi

A supporto delle lezioni e degli appunti presi a lezione, vengono consigliati i seguenti libri: - E. Lieb & M. Loss, Analysis, American Mathematical Society - W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri

Contenuti

Il programma del corso è il seguente: - Spazi normati: Definizione di norma e di spazio normato. Esempi in dimensione finita e infinita. Equivalenza di norme. Definizione di spazio di Banach. Applicazioni lineari tra spazi normati. Continuità e limitatezza. Norma operatoriale. Esempi di calcolo o stime di norme operatoriali. Completezza dello spazio delle applicazioni lineari tra uno spazio normato e uno spazio di Banach. - Spazi L^p: Funzioni p-sommabili e norma L^p. Disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Norma L^\infty. Definizione degli spazi L^p. Inclusioni tra spazi L^p. Approssimazione della norma L^\infty con norme L^p. Completezza degli spazi L^p. Confronto tra convergenza puntuale quasi ovunque, convergenza in norma L^p, convergenza uniforme. Proprietà di approssimazione in L^p. Densità delle funzioni semplici e delle funzioni continue in L^p. Continuità della norma L^p rispetto alle traslazioni. Disuguaglianza integrale di Minkowski. Prodotto di convoluzione di due funzioni. Stime di Young per convoluzioni di funzioni in spazi L^p. Proprietà di regolarità del prodotto di convoluzione. Approssimazioni dell'identità tramite convoluzioni. Mollificatori. Densità in L^p delle funzioni regolari a supporto compatto. - Spazi di Hilbert: Prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Identità del parallelogramma e formule di polarizzazione. Definizione ed esempi di spazi di Hilbert. Teorema della norma minima. Ortogonalità. Proiezioni ortogonali su sottospazi chiusi. Decomposizione ortogonale di spazi di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz. Sistemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Caratterizzazione delle basi ortonormali in spazi di Hilbert. Serie di Fourier astratta. Identità di Parseval e Plancherel. - Serie di Fourier: Polinomi trigonometrici. Nuclei di Dirichlet e nuclei di Fejer. Serie di Fourier di funzioni in L^2. Completezza del sistema trigonometrico. Convergenza puntuale della serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. - Trasformata di Fourier: Trasformata di Fourier per funzioni di L^1, definizione ed esempi. Lemma di Riemann-Lebesgue. Comportamento della trasformata rispetto alle operazioni di traslazione, dilatazione, derivazione, moltiplicazione per una potenza, convoluzione. Trasformata di Fourier della Gaussiana. Formula dello scambio del cappello. Trasformata di una trasformata. Formula di inversione. Trasformata di Fourier per funzioni di L^2. Proprietà isometriche della trasformata in L^2.