70181 - MECCANICA ANALITICA

insegnamento

ID:

70181

Tipo Insegnamento:

Obbligatorio

Opzionale

Durata (ore):

60

CFU:

Url:

Dettaglio Insegnamento:

MATEMATICA/APPLICATIVO Anno: 3

Dettaglio Insegnamento:

MATEMATICA/GENERALE Anno: 3

Anno:

2025

Periodo di attività

Primo Semestre (17/09/2025 - 23/12/2025)

Prerequisiti

È richiesta una conoscenza operativa dell'algebra lineare e vettoriale, nonché del calcolo differenziale e integrale in più variabili. Non è possibile sostenere l'esame di Meccanica Analitica se non si è superato quello di Fisica Generale I.

Metodi didattici

La didattica è basata su lezioni frontali. Queste comprendono sia la trattazione di tutti gli argomenti sia lo svolgimento dettagliato di esempi ed esercizi e la correzione di quelli proposti (homeworks). Sarà inoltre disponibile un tutor che curerà le esercitazioni.

Verifica Apprendimento

L'esame si articola in una prova scritta ed in una prova orale. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per accedere alla prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di uno o più esercizi, eventualmente articolati in più punti, riguardanti gli argomenti svolti a lezione. In particolare: scrivere le equazioni indefinite in forma lagrangiana o hamiltoniana del moto di un sistema meccanico, generalmente a vincoli olonomi, bilaterali e privi di attrito; determinare le configurazioni di equilibrio e/o classi particolari di moti; studiare proprietà qualitative e utilizzare le leggi di conservazioni o le proprietà di simmetria; studiare le proprietà di stabilità delle configurazioni di equilibrio; calcolare le pulsazioni dei piccoli moti attorno alle configurazioni di equilibrio stabile e, eventualmente, determinare i modi normali; verificare la canonicità di una trasformazione e determinare la corrispondente funzione generatrice. La prova scritta ha lo scopo di verificare la capacità del candidato di risolvere semplici problemi riguardanti gli argomenti fondamentali del corso. L'approfondimento sarà eventualmente oggetto della successiva prova orale. La prova scritta si intende superata con un voto pari almeno a 18/30 ma è consentito accedere alla prova orale anche con un voto alla prova scritta compreso tra 15/30 e 17/30. La prova orale tende all'accertamento di una conoscenza operativa e non superficiale della materia e della capacità di affrontare e risolvere semplici esercizi su tutti gli argomenti del corso, inclusi quelli non compresi nella prova scritta. La prova orale va sostenuta nella stessa sessione nella quale si è superata la prova scritta. Il voto finale tiene conto, in maniera critica e non automatica, dei voti conseguiti alla prova scritta ed a quella orale.

Testi

Appunti forniti dal docente Fasano A., Marmi S., Analytical mechanics, Oxford University Press, 2006 Jeevanjee N., An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists, Birkhäuser, 2011 Johns O.D., Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics, Oxford Graduate Texts, 2005 F.R. Gantmacher, Lezioni di Meccanica Analitica, Editori Riuniti, 1980 A. Romano, M. Furnari, The Physical and Mathematical Foundations of the Theory of Relativity, Birkhäuser, 2019 B. Ferretti, Le radici classiche della meccanica quantica, Bollati Boringhieri, 1980

Contenuti

Il corso (6 CFU) consiste in 60 ore di didattica frontale suddivise senza soluzione di continuità tra “teoria”, momenti cioè nei quali vengono introdotti ed illustrati gli argomenti del corso, ed “esercitazioni”, consistenti in esercizi risolti nel dettaglio. - Motivazioni del corso; difficoltà e superamento della meccanica Newtoniana (2 ore) - Richiami di algebra lineare. Spazi vettoriali, spazi di funzionali lineari, spazi duali. Componenti controvarianti. Spazi euclidei e propriamente euclidei. Componenti covarianti (2 ore) - Trasformazioni bilineari. Spazi tensoriali. Tensori doppi controvarianti, covarianti e misti. Proprietà di trasformazione dei tensori doppi. Tensori euclidei. Tensore metrico e sue proprietà (4 ore) - Autovalori, autovettori e proprietà spettrali di tensori doppi. Trasformazioni ortogonali. Proprietà dei tensori ortogonali e gruppo delle rotazioni proprie in R^3 (2 ore) - Spazi puntuali. Riferimenti. Sistemi di coordinate ortogonali. Proprietà ed operazioni negli spazi puntuali (2 ore) - sistemi di equazioni differenziali, flusso delle soluzioni, proprietà qualitative (4 ore) - Cinematica dei sistemi materiali liberi. Sistemi vincolati e classificazione dei vincoli. Grado di libertà. Sistemi a vincoli olonomi e coordinate lagrangiane. Applicazioni al corpo rigido. Cinematica relativa (4 ore) - Principi della dinamica Newtoniana. Legge di forza. Equazione fondamentale e sue proprietà di covarianza. Equazioni cardinali. Applicazioni (2 ore) - Equazione di d'Alembert-Lagrange. Vincoli ideali. Meccanica Lagrangiana. Le equazioni di Lagrange per i sistemi a vincoli olonomi e bilaterali. Proprietà di covarianza della lagrangiana. Leggi di conservazione e integrali primi (10 ore) - Introduzione elementare alla geometria differenziale. Spazio delle configurazioni come varietà differenziabile, spazio tangente e cotangente. Metrica riemanniana (8 ore) - Concetti elementari di calcolo delle variazioni. Le equazioni di Lagrange come condizioni estremali sull'integrale di azione (6 ore) - Configurazioni di equilibrio e loro determinazione. Stabilità del moto e dell'equilibrio. Condizioni sufficienti per la stabilità dell'equilibrio. Modi normali (4 ore) - Equazioni di Hamilton e loro proprietà. Parentesi di Poisson e struttura simplettica della meccanica hamiltoniana. Simmetrie e leggi di conservazione. Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi. Integrabilità. I fondamenti classici della meccanica quantistica (10 ore)