ID:
006373
Tipo Insegnamento:
Opzionale
Durata (ore):
60
CFU:
6
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Url:
INGEGNERIA ELETTRONICA E INFORMATICA/Percorso Comune Anno: 3
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (24/02/2025 - 05/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso intende presentare in modo ragionevolmente rigoroso alcuni strumenti matematici particolarmente adatti per le applicazioni in molti campi dell'ingegneria, in particolar modo nella teoria dei segnali. Tra questi, i principali saranno la Z-trasformata e le due trasformate integrali più semplici, quella di Laplace (per segnali causali) e quella di Fourier (per segnali più generali). Se il tempo lo permetterà, si introdurrà brevemente anche la trasformata di Hilbert.
L'obiettivo principale è aiutare gli studenti a colmare il divario esistente fra i corsi elementari di calcolo e i corsi avanzati.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
- definizione, proprietà e applicazioni della Z-trasformata
- definizione, proprietà e applicazioni della trasformata di Laplace
- definizione, proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier
- elementi di base della teoria delle distribuzioni
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:
- calcolo di trasformate integrali dei segnali (causali e non) più comuni
- risoluzione di equazioni differenziali ordinarie tramite trasformazioni integrali
- discretizzazione temporale di una semplice equazione differenziale lineare e soluzione approssimata
- realizzazione teorica di filtri passa-basso
- utilizzo delle singolarità isolate di una funzione complessa per il calcolo di integrali (necessari per invertire per esempio le Z-trasformate)
L'obiettivo principale è aiutare gli studenti a colmare il divario esistente fra i corsi elementari di calcolo e i corsi avanzati.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
- definizione, proprietà e applicazioni della Z-trasformata
- definizione, proprietà e applicazioni della trasformata di Laplace
- definizione, proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier
- elementi di base della teoria delle distribuzioni
Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:
- calcolo di trasformate integrali dei segnali (causali e non) più comuni
- risoluzione di equazioni differenziali ordinarie tramite trasformazioni integrali
- discretizzazione temporale di una semplice equazione differenziale lineare e soluzione approssimata
- realizzazione teorica di filtri passa-basso
- utilizzo delle singolarità isolate di una funzione complessa per il calcolo di integrali (necessari per invertire per esempio le Z-trasformate)
Prerequisiti
Tutti i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1A, 1B e 2
Metodi didattici
Il corso è organizzato nel seguente modo: lezioni in aula sugli argomenti del corso, tenute dal docente titolare. Le lezioni consistono di parti teoriche, intervallate da esercizi ed esempi che mirano ad illustrare i concetti presentati.
Per la distribuzione del materiale didattico e per l'interazione docente-studenti verra' utilizzata la piattaforma GoogleClassRoom, codice
mq6qsnq
Per la distribuzione del materiale didattico e per l'interazione docente-studenti verra' utilizzata la piattaforma GoogleClassRoom, codice
mq6qsnq
Verifica Apprendimento
L'esame consiste di una prova orale della durata di circa 1 ora, durante la quale verrà verificata la preparazione dello studente. La prova orale si articola in almeno 3 quesiti, su almeno 2 argomenti del corso. Almeno 1 dei quesiti sarà di carattere teorico.
Per agevolare e alleggerire il colloquio d’esame e farlo rimanere nella durata di un’ora si richiede allo studente di svolgere e consegnare al docente per posta elettronica almeno il giorno precedente l’esame alcuni degli esercizi per casa proposti nelle lezioni e divisi per capitoli; sara’ discrezione dello studente la scelta del numero e del tipo di esercizi da sottomettere (sarebbe opportuno almeno uno per capitolo e comunque almeno tre esercizi in totale, tenendo presente che piu’ esercizi si sottomettono e meglio si sara’ valutati in sede di esame).
Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento.
Per agevolare e alleggerire il colloquio d’esame e farlo rimanere nella durata di un’ora si richiede allo studente di svolgere e consegnare al docente per posta elettronica almeno il giorno precedente l’esame alcuni degli esercizi per casa proposti nelle lezioni e divisi per capitoli; sara’ discrezione dello studente la scelta del numero e del tipo di esercizi da sottomettere (sarebbe opportuno almeno uno per capitolo e comunque almeno tre esercizi in totale, tenendo presente che piu’ esercizi si sottomettono e meglio si sara’ valutati in sede di esame).
Il superamento dell'esame è prova di aver acquisito le conoscenze e le abilità specificate negli obiettivi formativi dell'insegnamento.
Testi
- Dispense del corso che verranno rese disponibili sulla GoogleClassRoom del corso
- C. Barozzi "Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione" Zanichelli (per tutti gli argomenti, tranne la Z-trasformata)
- M. Giaquinta, G. Modica "Note di metodi matematici per ingegneria informatica" Pitagora (solo per la parte sulla Z-trasformata)
TESTI CONSIGLIATI PER L'APPROFONDIMENTO
- D. Mari "Trasformata di Laplace per l'Ingegneria" Pitagora
- L. Badia, D. Mari "MatES - Esercizi di Matematica per l'Elaborazione dei Segnali" Pitagora
- G. Gilardi "Analisi tre" Mc Graw Hill
- C. Barozzi "Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione" Zanichelli (per tutti gli argomenti, tranne la Z-trasformata)
- M. Giaquinta, G. Modica "Note di metodi matematici per ingegneria informatica" Pitagora (solo per la parte sulla Z-trasformata)
TESTI CONSIGLIATI PER L'APPROFONDIMENTO
- D. Mari "Trasformata di Laplace per l'Ingegneria" Pitagora
- L. Badia, D. Mari "MatES - Esercizi di Matematica per l'Elaborazione dei Segnali" Pitagora
- G. Gilardi "Analisi tre" Mc Graw Hill
Contenuti
FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA (15 h)
- numeri complessi
- qualche nozione di topologia
- funzioni continue
- funzioni olomorfe
- equazioni di Cauchy-Riemann
- armoniche coniugate
- teorema di Cauchy
- teorema di deformazione del contorno
- formula integrale di Cauchy
- formula della media per le armoniche coniugate
- serie di potenze
- analiticità delle funzioni olomorfe
- zeri di una funzione olomorfa
- teorema di Liouville
- teorema fondamentale dell'Algebra
- singolarità isolate: rimovibili, poli e singolarità essenziali
- residui
- teorema dei residui
- serie bilatere
- teorema di Laurent
- decomposizione in fratti semplici
Z-TRASFORMATA (5 h)
- definizione
- raggio di convergenza
- proprietà e formule notevoli
- teorema del valore iniziale
- teorema del valore finale (forma non-tangenziale)
- regolarità
- formula di inversione
- applicazioni della Z-trasformata alle equazioni alle differenze
INTEGRALE DI LEBESGUE E SPAZI L^p (7,5 h)
- definizione informale di integrazione secondo Lebesgue
- teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (Fatou, convergenza dominata, convergenza monotona)
- teoremi di Fubini e Tonelli
- definizione di spazio L^p
- le disuguaglianze di Young, Holder e Minkowski
- teorema di densità
- continuità in norma rispetto alle traslazioni
- convoluzioni: definizione e disuguaglianze di Young per le convoluzioni
- esempi
- regolarizzazione tramite convoluzione
- approssimazione tramite convoluzione
TRASFORMATA DI LAPLACE (10 h)
- segnali causali L-trasformabili
- definizione di trasformata di Laplace
- ascissa di convergenza
- condizione necessaria di trasformabilità
- condizioni sufficienti di trasformabilità
- continuità e limitatezza della trasformata
- derivata della trasformata
- olomorfia della trasformata di Laplace
- trasformata della derivata
- trasformata della convoluzione
- formule per il riscalamento ed il ritardo temporale
- traslazione della trasformata nel piano complesso
- formula di inversione per segnali C1 a tratti
- antitrasformazione di funzioni razionali proprie, usando la riduzione in fratti semplici
- soluzione del problema di cauchy per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
- funzione di trasferimento e risposta impulsiva
- trasformata bilatera di Laplace
TRASFORMATA DI FOURIER (11 h)
- definizione di trasformata di Fourier per un segnale in L^1
- confronto con la trasformata di Laplace
- continuità e limitatezza della trasformata
- lemma di Riemann-Lebesgue
- derivabilità della trasformata di Fourier
- trasformata di Fourier della derivata
- legame tra regolarità e decadimento
- formula di inversione per segnali C^1 a tratti
- formula di dualità
- principio di indeterminazione
- la classe S di Schwartz
- proprietà della trasformata di Fourier in S
- formule di Parseval e Plancherel
- segnali a banda limitata
- esempi di filtri ideali passa-basso
- formula di campionamento di Shannon-Whittaker
- esempi di aliasing
DISTRIBUZIONI (11,5 h)
- presentazione informale della teoria: derivata del gradino unitario
- convergenza di funzioni nella classe S
- definizione di distribuzione temperata
- la delta di Dirac
- funzioni a crescita lenta e distribuzioni temperate regolari da esse generate
- serie di delta
- la distribuzione "valore principale di 1/t"
- operazioni elementari con le distribuzioni temperate: combinazione lineare, cambio di variabile, moltiplicazione per funzioni regolari, convoluzione con una funzione
- successioni di distribuzioni temperate convergenti
- derivata distribuzionale
- trasformata di Fourier di una distribuzione temperata
- esempi di trasformate di Fourier (gradino unitario, segno, delta, costanti, valore principale di 1/t)
- formula di Sochocki-Plemelj
- pettine di Dirac
- formula di sommazione di Poisson
- trasformata di Hilbert
- numeri complessi
- qualche nozione di topologia
- funzioni continue
- funzioni olomorfe
- equazioni di Cauchy-Riemann
- armoniche coniugate
- teorema di Cauchy
- teorema di deformazione del contorno
- formula integrale di Cauchy
- formula della media per le armoniche coniugate
- serie di potenze
- analiticità delle funzioni olomorfe
- zeri di una funzione olomorfa
- teorema di Liouville
- teorema fondamentale dell'Algebra
- singolarità isolate: rimovibili, poli e singolarità essenziali
- residui
- teorema dei residui
- serie bilatere
- teorema di Laurent
- decomposizione in fratti semplici
Z-TRASFORMATA (5 h)
- definizione
- raggio di convergenza
- proprietà e formule notevoli
- teorema del valore iniziale
- teorema del valore finale (forma non-tangenziale)
- regolarità
- formula di inversione
- applicazioni della Z-trasformata alle equazioni alle differenze
INTEGRALE DI LEBESGUE E SPAZI L^p (7,5 h)
- definizione informale di integrazione secondo Lebesgue
- teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (Fatou, convergenza dominata, convergenza monotona)
- teoremi di Fubini e Tonelli
- definizione di spazio L^p
- le disuguaglianze di Young, Holder e Minkowski
- teorema di densità
- continuità in norma rispetto alle traslazioni
- convoluzioni: definizione e disuguaglianze di Young per le convoluzioni
- esempi
- regolarizzazione tramite convoluzione
- approssimazione tramite convoluzione
TRASFORMATA DI LAPLACE (10 h)
- segnali causali L-trasformabili
- definizione di trasformata di Laplace
- ascissa di convergenza
- condizione necessaria di trasformabilità
- condizioni sufficienti di trasformabilità
- continuità e limitatezza della trasformata
- derivata della trasformata
- olomorfia della trasformata di Laplace
- trasformata della derivata
- trasformata della convoluzione
- formule per il riscalamento ed il ritardo temporale
- traslazione della trasformata nel piano complesso
- formula di inversione per segnali C1 a tratti
- antitrasformazione di funzioni razionali proprie, usando la riduzione in fratti semplici
- soluzione del problema di cauchy per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
- funzione di trasferimento e risposta impulsiva
- trasformata bilatera di Laplace
TRASFORMATA DI FOURIER (11 h)
- definizione di trasformata di Fourier per un segnale in L^1
- confronto con la trasformata di Laplace
- continuità e limitatezza della trasformata
- lemma di Riemann-Lebesgue
- derivabilità della trasformata di Fourier
- trasformata di Fourier della derivata
- legame tra regolarità e decadimento
- formula di inversione per segnali C^1 a tratti
- formula di dualità
- principio di indeterminazione
- la classe S di Schwartz
- proprietà della trasformata di Fourier in S
- formule di Parseval e Plancherel
- segnali a banda limitata
- esempi di filtri ideali passa-basso
- formula di campionamento di Shannon-Whittaker
- esempi di aliasing
DISTRIBUZIONI (11,5 h)
- presentazione informale della teoria: derivata del gradino unitario
- convergenza di funzioni nella classe S
- definizione di distribuzione temperata
- la delta di Dirac
- funzioni a crescita lenta e distribuzioni temperate regolari da esse generate
- serie di delta
- la distribuzione "valore principale di 1/t"
- operazioni elementari con le distribuzioni temperate: combinazione lineare, cambio di variabile, moltiplicazione per funzioni regolari, convoluzione con una funzione
- successioni di distribuzioni temperate convergenti
- derivata distribuzionale
- trasformata di Fourier di una distribuzione temperata
- esempi di trasformate di Fourier (gradino unitario, segno, delta, costanti, valore principale di 1/t)
- formula di Sochocki-Plemelj
- pettine di Dirac
- formula di sommazione di Poisson
- trasformata di Hilbert
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Corsi
Corsi
3 anni
No Results Found
Persone
Persone
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