ID:
015616
Tipo Insegnamento:
Obbligatorio
Durata (ore):
96
CFU:
12
SSD:
GEOMETRIA
Url:
MATEMATICA/PERCORSO COMUNE Anno: 3
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Annualità Singola (23/09/2024 - 06/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso ha un duplice obiettivo: presentare gli elementi fondamentali dello studio delle curve e delle superfici differenziabili reali nello spazio a tre dimensioni e introdurre alla teoria delle funzioni in Analisi complessa.
PARTE I: La prima parte del corso è una introduzione allo studio delle curve e delle superfici differenziabili nello spazio.
Le principali conoscenze acquisite saranno le proprietà degli elementi fondamentali delle curve differenziabili nel piano e nello spazio e le proprietà degli elementi fondamentali delle superfici differenziabili nello spazio.
Le principali abilità saranno quelle di riconoscere e analizzare le proprietà delle curve differenziabili nel piano e nello spazio e quelle di riconoscere e analizzare le proprietà delle superfici differenziabili nello spazio.
PARTE II: La seconda parte del corso rappresenta un primo insegnamento della teoria delle funzioni in Analisi complessa e delle Superficie di Riemann; l'obiettivo principale del corso consiste nel far acquisire agli studenti i concetti di base e i risultati fondamentali della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
caratteristiche fondamentali delle funzioni complesse; conoscenza delle funzioni polidrome;
conoscenze di base per affrontare lo studio delle funzioni di variabile complessa, la loro espressione come somma di serie di funzioni, l'integrazione complessa;
conoscenze relative alle proprietà delle funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di potenze. Cenni di Superficie di Riemann.
Le principali abilità saranno:
analizzare il comportamento delle funzioni di variabile complessa; rendere univoche le funzioni polidrome;
studiare le funzioni complesse mettendone in evidenza le proprietà analitiche, algebriche e gli aspetti geometrici delle mappe da esse definite;
utilizzare le proprietà delle funzioni complesse per risolvere problemi nel campo reale.
PARTE I: La prima parte del corso è una introduzione allo studio delle curve e delle superfici differenziabili nello spazio.
Le principali conoscenze acquisite saranno le proprietà degli elementi fondamentali delle curve differenziabili nel piano e nello spazio e le proprietà degli elementi fondamentali delle superfici differenziabili nello spazio.
Le principali abilità saranno quelle di riconoscere e analizzare le proprietà delle curve differenziabili nel piano e nello spazio e quelle di riconoscere e analizzare le proprietà delle superfici differenziabili nello spazio.
PARTE II: La seconda parte del corso rappresenta un primo insegnamento della teoria delle funzioni in Analisi complessa e delle Superficie di Riemann; l'obiettivo principale del corso consiste nel far acquisire agli studenti i concetti di base e i risultati fondamentali della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Le principali conoscenze acquisite saranno:
caratteristiche fondamentali delle funzioni complesse; conoscenza delle funzioni polidrome;
conoscenze di base per affrontare lo studio delle funzioni di variabile complessa, la loro espressione come somma di serie di funzioni, l'integrazione complessa;
conoscenze relative alle proprietà delle funzioni olomorfe e loro sviluppo in serie di potenze. Cenni di Superficie di Riemann.
Le principali abilità saranno:
analizzare il comportamento delle funzioni di variabile complessa; rendere univoche le funzioni polidrome;
studiare le funzioni complesse mettendone in evidenza le proprietà analitiche, algebriche e gli aspetti geometrici delle mappe da esse definite;
utilizzare le proprietà delle funzioni complesse per risolvere problemi nel campo reale.
Prerequisiti
Si assumono conosciuti i concetti e le proposizioni fondamentali dei corsi di Algebra, Geometria I e II.
Inoltre è necessario aver acquisito ed assimilato le nozioni riguardanti il campo dei numeri reali e dei numeri complessi e le proprietà delle funzioni reali di una e più variabili reali, sviluppate nei corsi di Analisi Matematica I e II.
Inoltre è necessario aver acquisito ed assimilato le nozioni riguardanti il campo dei numeri reali e dei numeri complessi e le proprietà delle funzioni reali di una e più variabili reali, sviluppate nei corsi di Analisi Matematica I e II.
Metodi didattici
Lezioni su tutti gli argomenti del corso con esposizione scritta della parte teorica corredata di numerosi esercizi svolti quali esempi esplicativi della teoria trattata.
Verifica Apprendimento
La verifica dell'apprendimento consiste di due prove parziali:
- una prima prova, scritta e orale, sulla parte di Geometria differenziale;
- una seconda prova scritta alla fine del secondo semestre di lezione sulla parte di Analisi complessa.
Ogni prova parziale si intende superata se si ottiene la votazione di almeno 18 trentesimi. Il voto finale dell'esame sarà la media dei voti nelle due prove parziali.
- una prima prova, scritta e orale, sulla parte di Geometria differenziale;
- una seconda prova scritta alla fine del secondo semestre di lezione sulla parte di Analisi complessa.
Ogni prova parziale si intende superata se si ottiene la votazione di almeno 18 trentesimi. Il voto finale dell'esame sarà la media dei voti nelle due prove parziali.
Testi
Riguardo la geometria differenziale i libri di testo sono:
M. Abate e F. Tovena, Curve e superfici, collana Unitext 26, Springer, Milano 2006;
M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces: Second Edition, Dover Publications, 2016.
Argomenti specifici di Analisi complessa possono essere approfonditi nei seguenti testi:
A. Del Centina, Teoria delle funzioni di una variabile complessa, Aracne editrice;
M. O. Gonzalez, Classical complex Analysis, Dekker;
T. Gamelin, Complex Analysis.
M. Abate e F. Tovena, Curve e superfici, collana Unitext 26, Springer, Milano 2006;
M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces: Second Edition, Dover Publications, 2016.
Argomenti specifici di Analisi complessa possono essere approfonditi nei seguenti testi:
A. Del Centina, Teoria delle funzioni di una variabile complessa, Aracne editrice;
M. O. Gonzalez, Classical complex Analysis, Dekker;
T. Gamelin, Complex Analysis.
Contenuti
Argomenti di Geometria differenziale:
Curve parametrizzate, curve regolari, lunghezza d'arco, teoria locale delle curve parametrizzate d'arco: triedro e formule di Frenet, forma canonica locale di una curva, teoria globale delle curve piane: la disuguaglianza isoperimetrica (16 ore).
Superfici regolari, funzioni differenziabili su una superficie, piano tangente, differenziale di una funzione. La prima forma fondamentale (10 ore).
Superfici orientabili e non orientabili. Mappa di Gauss, seconda forma fondamentale. Isometrie e mappe conformi (10 ore).
Teorema Egregium di Gauss. Geodetiche. Teorema di Gauss-Bonnet (12 ore).
Argomenti di Analisi Complessa:
generalità sulle funzioni di variabile complessa; funzioni elementari; mappe conformi; funzioni olomorfe; equazioni di Cauchy-Riemann (5 ore); successioni e serie di funzioni complesse; modi di convergenza; serie di potenze; funzioni trascendenti elementari; integrazione nel campo complesso (6 ore); teorema di Cauchy per le regioni stellate e formula integrale per il disco; proprietà delle funzioni olomorfe: sviluppabilità in serie di potenze (5 ore); teorema di Liouville, teorema di identità di Riemann, teorema di prolungamento di Riemann (4 ore); teorema della mappa aperta; singolarità isolate delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe; teorema di Cauchy per la corona (5 ore); teorema di Laurent e sviluppo in serie di Laurent delle funzioni olomorfe in una corona; indice di un cammino rispetto a un punto (5 ore); regioni omologicamente semplicemente connesse; teorema di Cauchy generale; calcolo dei residui: teorema dei residui; applicazione di tale teorema alla risoluzione di integrali reali (10 ore).
Curve parametrizzate, curve regolari, lunghezza d'arco, teoria locale delle curve parametrizzate d'arco: triedro e formule di Frenet, forma canonica locale di una curva, teoria globale delle curve piane: la disuguaglianza isoperimetrica (16 ore).
Superfici regolari, funzioni differenziabili su una superficie, piano tangente, differenziale di una funzione. La prima forma fondamentale (10 ore).
Superfici orientabili e non orientabili. Mappa di Gauss, seconda forma fondamentale. Isometrie e mappe conformi (10 ore).
Teorema Egregium di Gauss. Geodetiche. Teorema di Gauss-Bonnet (12 ore).
Argomenti di Analisi Complessa:
generalità sulle funzioni di variabile complessa; funzioni elementari; mappe conformi; funzioni olomorfe; equazioni di Cauchy-Riemann (5 ore); successioni e serie di funzioni complesse; modi di convergenza; serie di potenze; funzioni trascendenti elementari; integrazione nel campo complesso (6 ore); teorema di Cauchy per le regioni stellate e formula integrale per il disco; proprietà delle funzioni olomorfe: sviluppabilità in serie di potenze (5 ore); teorema di Liouville, teorema di identità di Riemann, teorema di prolungamento di Riemann (4 ore); teorema della mappa aperta; singolarità isolate delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe; teorema di Cauchy per la corona (5 ore); teorema di Laurent e sviluppo in serie di Laurent delle funzioni olomorfe in una corona; indice di un cammino rispetto a un punto (5 ore); regioni omologicamente semplicemente connesse; teorema di Cauchy generale; calcolo dei residui: teorema dei residui; applicazione di tale teorema alla risoluzione di integrali reali (10 ore).
Lingua Insegnamento
ITALIANO
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
Persone (2)
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